Mostre que se y_{1}(t) e y_{2}(t) são soluções fundamentais da equação y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=0 num intervalo I, então
p(t)=\frac{y_{2}(t) y_{1}^{\prime \prime}(t)-y_{1}(t) y_{2}^{\prime \prime}(t)}{W\left[y_{1}, y_{2}\right](t)} \quad \text { e } \quad q(t)=-\frac{y_{2}^{\prime}(t) y_{1}^{\prime \prime}(t)-y_{1}^{\prime}(t) y_{2}^{\prime \prime}(t)}{W\left[y_{1}, y_{2}\right](t)}, \quad \text { para } t \in I .
Sugestão: substitua y_{1}(t) e y_{2}(t) na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para p(t) e q(t).

Passo 1

O enunciado diz que y_{1}(t) e y_{2}(t) são duas soluções linearly independentes da EDO
y'' + p(t)\,y' + q(t)\,y = 0,
em um intervalo I. Como são fundamentais, o wronskiano
W(t)=W[y_{1},y_{2}](t)=y_{1}(t)\,y_{2}'(t)-y_{2}(t)\,y_{1}'(t)
é não-nulo em I. Nosso objetivo é achar expressões para p(t) e q(t) em termos de y_{1},y_{2} e suas derivadas.

Passo 2

Escrevemos a EDO avaliada em cada solução. Para y_{1} e y_{2} vale:
y_{1}'' + p\,y_{1}' + q\,y_{1} = 0,
y_{2}'' + p\,y_{2}' + q\,y_{2} = 0.
Essas duas equações formam um sistema linear nas incógnitas p(t) e q(t).

Passo 3

Para eliminar q e resolver para p, multiplicamos a primeira equação por y_{2} e a segunda por y_{1}, e subtraímos:
y_{2}\,y_{1}'' + p\,y_{2}\,y_{1}' + q\,y_{2}\,y_{1} \;-\;\bigl(y_{1}\,y_{2}'' + p\,y_{1}\,y_{2}' + q\,y_{1}\,y_{2}\bigr)=0.
Os termos em q cancelam, sobrando
y_{2}\,y_{1}'' - y_{1}\,y_{2}'' \;+\; p\bigl(y_{2}\,y_{1}'-y_{1}\,y_{2}'\bigr)=0.
Como y_{2}y_{1}'-y_{1}y_{2}'=W, temos
p(t)\;=\;-\frac{y_{2}\,y_{1}'' - y_{1}\,y_{2}''}{\,W\,} \;=\;\frac{y_{2}\,y_{1}'' - y_{1}\,y_{2}''}{W[y_{1},y_{2}](t)}.

Passo 4

Para encontrar q, multiplicamos a primeira equação por y_{2}' e a segunda por y_{1}', e subtraímos:
y_{2}'\,y_{1}'' + p\,y_{2}'\,y_{1}' + q\,y_{2}'\,y_{1} \;-\;\bigl(y_{1}'\,y_{2}'' + p\,y_{1}'\,y_{2}' + q\,y_{1}'\,y_{2}\bigr)=0.
Os termos em p cancelam (pois y_{2}'y_{1}'-y_{1}'y_{2}'=0), ficando
y_{2}'\,y_{1}'' - y_{1}'\,y_{2}'' \;+\; q\bigl(y_{2}'\,y_{1}-y_{1}'\,y_{2}\bigr)=0.
Como y_{2}'y_{1}-y_{1}'y_{2}=-W, segue
q(t)\;=\;-\frac{y_{2}'\,y_{1}'' - y_{1}'\,y_{2}''}{-W} \;=\;-\frac{y_{2}'\,y_{1}'' - y_{1}'\,y_{2}''}{W[y_{1},y_{2}](t)}.

Resposta

p(t) =\frac{y_{2}(t)\,y_{1}''(t)-y_{1}(t)\,y_{2}''(t)}{W[y_{1},y_{2}](t)}, \qquad q(t) =-\frac{y_{2}'(t)\,y_{1}''(t)-y_{1}'(t)\,y_{2}''(t)}{W[y_{1},y_{2}](t)}.

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