Mostre que se
e
são soluções fundamentais da equação
num intervalo I, então
Sugestão: substitua
e
na equação diferencial e resolva o sistema correspondente para
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são duas soluções linearly independentes da EDO
em um intervalo
. Como são fundamentais, o wronskiano
é não-nulo em
. Nosso objetivo é achar expressões para
e
em termos de
e suas derivadas.
Passo 2
Escrevemos a EDO avaliada em cada solução. Para
e
vale:
Essas duas equações formam um sistema linear nas incógnitas
e
.
Passo 3
Para eliminar
e resolver para
, multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, e subtraímos:
Os termos em
cancelam, sobrando
Como
, temos
Passo 4
Para encontrar
, multiplicamos a primeira equação por
e a segunda por
, e subtraímos:
Os termos em
cancelam (pois
), ficando
Como
, segue