Below is a table of values for a continuous function f.
x -12 -6 -1 30 40 f(x) 6 30 -40 -10 10
On the interval -1 \leq x \leq 40, must there be a value of x for which f(x)=9 ? Explain.
  1. the function is contenuous
  2. f(-1)=-40, f(40)=10
  3. 9 is on [-40,10]

Passo 1

O enunciado dá uma função f contínua em todo o intervalo [-1,40], com valores
f(-1) = -40\quad\text{e}\quad f(40) = 10
e pergunta se existe algum x\in[-1,40] tal que f(x)=9. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

O Teorema do Valor Intermediário diz que se f é contínua em [a,b] e L é um valor entre f(a) e f(b), ou seja,
\min\{f(a),f(b)\}\le L\le \max\{f(a),f(b)\},
então existe pelo menos um c\in[a,b] tal que f\text{(c)}=L.

Passo 3

Aqui temos
f(-1)=-40 \quad\text{e}\quad f(40)=10,
e o valor 9 satisfaz
-40 < 9 < 10,
ou seja, 9 está entre f(-1) e f(40).

Passo 4

Como f é contínua em [-1,40] e 9 está entre f(-1) e f(40), pelo Teorema do Valor Intermediário existe algum c\in[-1,40] tal que
f\text{(c)}=9.

Resposta

Sim. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe c\in[-1,40] com f\text{(c)}=9.

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