Below is a table of values for a continuous function f.
x -12 -6 -1 30 40 f(x) 6 30 -40 -10 10
For -12 \leq x \leq-1, what is the fewest possible times f(x)=3 ?

Passo 1

O enunciado fornece uma função contínua f em [-12,-1] com valores f(-12)=6, f(-6)=30 e f(-1)=-40. Pede-se o menor número possível de soluções de f(x)=3 nesse intervalo. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

No subintervalo [-12,-6] temos f(-12)=6>3 e f(-6)=30>3. Como ambos os valores estão acima de 3, podemos fazer f(x) permanecer sempre acima de 3 nessa parte, de modo que não há obrigação de existir ponto em que f(x)=3 ali. Logo, zero ocorrências nesse trecho.

Passo 3

No subintervalo [-6,-1] temos f(-6)=30>3 e f(-1)=-40<3. Pela continuidade de f e pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um c\in(-6,-1) tal que f\text{(c)}=3. Podemos ainda ajustar f para que isso aconteça apenas uma vez, garantindo o mínimo de raízes.

Passo 4

Somando as ocorrências mínimas em cada parte, obtemos o menor número possível de soluções de f(x)=3 em [-12,-1] igual a 1.

Resposta

1

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