Below is a table of values for a continuous function f.
x -12 -6 -1 30 40 f(x) 6 30 -40 -10 10
For -1 \leq x \leq 40, what is the fewest possible times f(x)=15 ?

Passo 1

O enunciado dá uma função contínua f e fornece os pontos
x=-1,\;30,\;40
com
f(-1)=-40,\quad f(30)=-10,\quad f(40)=10,
e pergunta, para o intervalo -1\le x\le40, qual o menor número de soluções da equação f(x)=15. Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI).

Passo 2

Definimos a função auxiliar
g(x)=f(x)-15.
Nos pontos dados temos
g(-1)=-40-15=-55,\quad g(30)=-10-15=-25,\quad g(40)=10-15=-5.
Todos esses valores são negativos.

Passo 3

O Teorema do Valor Intermediário garante pelo menos uma raiz de g em qualquer subintervalo onde g mude de sinal. Como g(-1),g(30) e g(40) são todos negativos, não há garantia de mudança de sinal em nenhum trecho de [-1,40].

Resposta

O mínimo possível de vezes que f(x)=15 ocorre em [-1,40] é
0.

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