Um bem, cujo valor à vista é de \ 6.000 , será pago por meio de uma entrada deá50 % e o saldo em tantas prestações mensais postecipadas deçõ$380$ quantas forem necessárias, mais um pagamento final inferior ao valor da prestação, que deve ser efetuado um mês após a data do vencimento da última parcela. A juros efetivos de 4% a.m., determinar o número de prestações e o valor do pagamento final.
Dados: \mathrm{P}=\ 6.000 , entrada(50 %)=$3.000 ,R=$ 380, i=4 % a.m.,n=?, Y=$ ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o número de prestações mensais inteiras de \$380 (vou chamar esse número de n) e o valor do pagamento final Y (que é menor que a prestação) que será feito um mês após a última prestação inteira. Os dados relevantes fornecidos são: \mathrm{P}=\$6.000 (valor à vista), entrada 50\% ou \$3.000, saldo financiado L=\$3.000, prestação R=\$380, taxa efetiva mensal i=4\%=0,04.\n
Resumo dos dados (tirados do enunciado):\n \mathrm{P}=\$6.000\nEntrada =50\%\Rightarrow \$3.000\nSaldo financiado L=\$3.000\n R=\$380\n i=4\%=0{,}04 a.m.\nAs incógnitas: n=\\ ? (número de prestações inteiras de \$380) e Y=\\ ? (pagamento final, menor que \$380, feito em t=n+1).
Nada mais será assumido nesta etapa: agora que entendemos o que é pedido e quais são os dados, vamos ao método passo a passo.

Passo 2

Ideia e método (explicação didática):
Quero achar quantas prestações inteiras de \$380 se pagam até que reste um saldo final menor que a prestação, que será liquidado com um único pagamento Y um mês depois. A forma prática e padrão de resolver isso usa o valor presente (PV) das prestações:
  • O saldo L é igual ao valor presente, no tempo zero, das n prestações de \$380 mais do valor presente do pagamento final Y que ocorrerá em t=n+1.
    A equação do valor presente é:
L = R\;a_{\overline{n}|i} + \dfrac{Y}{(1+i)^{\,n+1}}
onde a_{\overline{n}|i} é o fator de anuidade (valor presente, no tempo 0, de n pagamentos unitários postecipados) definido por
a_{\overline{n}|i} = \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}.\nMas como Y é desconhecido, usamos um raciocínio prático para achar n: encontramos o maior número inteiro de prestações n tal que o valor presente de n prestações de \$380 ainda seja menor que L, ou seja
R\,a_{\overline{n}|i} < L \le R\,a_{\overline{n+1}|i}.\nIsso traduz em: com n prestações inteiras não se quita totalmente o saldo, mas com n+1 prestações inteiras a dívida seria coberta (ou excedida), o que mostra que o esquema real terá exatamente n prestações inteiras e um pagamento final Y< R em t=n+1.
Depois de achar n, calculamos Y isolando-o na equação do PV:
Y = (L - R\,a_{\overline{n}|i})\,(1+i)^{\,n+1}.\nOutra forma equivalente (útil para conferir) é achar o saldo imediatamente após a n-ésima prestação (chame-o de B_n) e então Y=(1+i)B_n. Ambas dão o mesmo resultado.
Agora aplicamos isso numericamente com L=\$3.000, R=\$380, i=0{,}04.

Passo 3

Calcular a desigualdade para encontrar n. Usamos a forma simplificada para R\,a_{\overline{n}|i}. Observe que
R\,a_{\overline{n}|i} = R\;\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \dfrac{R}{i}\,\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr).\nCom R=380 e i=0{,}04 temos \dfrac{R}{i}=\dfrac{380}{0{,}04}=9500. Logo
R\,a_{\overline{n}|i} = 9500\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr).\nQueremos o maior inteiro n tal que 9500\bigl(1-(1+i)^{-n}\bigr) < 3000. Isolando (1+i)^{-n}:
1-(1+i)^{-n} < \dfrac{3000}{9500} \quad\Rightarrow\quad (1+i)^{-n} > 1-\dfrac{3000}{9500}.\nCalcule os números:
1-\dfrac{3000}{9500} = 1-\dfrac{30}{95} = 1-\dfrac{6}{19} = \dfrac{13}{19} \approx 0{,}6842105263.\nEntão precisamos de (1+i)^{-n} > \dfrac{13}{19}. Como 1+i=1{,}04, escrevemos
(1{,}04)^{-n} > \dfrac{13}{19}.\nTomando logaritmo (ou reconhecendo que o lado esquerdo diminui quando n aumenta), obtemos
n < \dfrac{\ln(13/19)}{\ln(1/1{,}04)} = \dfrac{\ln(13/19)}{-\ln(1{,}04)}.\nAgora os cálculos numéricos:
\ln\!\bigl(\tfrac{13}{19}\bigr) \approx -0{,}379489622,\qquad \ln(1{,}04)\approx 0{,}039220713.\nPortanto
n < \dfrac{-0{,}379489622}{-0{,}039220713}\approx 9{,}676\ldots\nO maior inteiro menor que 9{,}676 é n=9. Assim, existem 9 prestações inteiras de \$380 e a décima operação é o pagamento final menor Y em t=10.

Passo 4

Agora calculamos o valor de Y. Podemos usar a fórmula
Y = (L - R\,a_{\overline{n}|i})\,(1+i)^{\,n+1}.\nPrimeiro calculamos a_{\overline{9}|i}. Usando v=(1+i)^{-1}=(1{,}04)^{-1}=0{,}9615384615 (aprox.),
a_{\overline{9}|i} = \dfrac{1-v^{9}}{i}.\nCalculamos (1{,}04)^{9} e v^{9}=(1{,}04)^{-9}. Valores intermediários (aprox.):
(1{,}04)^{9}\approx 1{,}4233118124214845,\qquad v^{9}=(1{,}04)^{-9}\approx 0{,}702554.\nEntão
a_{\overline{9}|i} = \dfrac{1-0{,}702554}{0{,}04}\approx \dfrac{0{,}297446}{0{,}04}\approx 7{,}43615\ldots\nMultiplicando por R=380:
R\,a_{\overline{9}|i} \approx 380\times 7{,}43615 \approx 2825{,}698\ldots\nAgora o resíduo de valor presente (no tempo zero) que corresponde ao pagamento final é
L - R\,a_{\overline{9}|i} \approx 3000 - 2825{,}698 \approx 174{,}302.\nMultiplicamos pelo fator (1+i)^{\,n+1}=(1{,}04)^{10} para trazer esse PV ao valor do pagamento Y em t=10. Calculamos
(1{,}04)^{10} \approx 1{,}4802442849183448.\nPortanto
Y \approx 174{,}302 \times 1{,}4802442849 \approx 258{,}412\ldots\nArredondando para centavos (como é valor em reais/dólares): Y\approx \$258{,}41.\n(Verificação alternativa rápida: saldo imediatamente após a 9ª prestação é B_9\approx 248{,}47 e Y=(1{,}04)B_9\approx 258{,}41. Ambos os caminhos são equivalentes.)

Passo 5

Conferência das condições: Y\approx \$258{,}41 é menor que a prestação R=\$380, como solicitado pelo enunciado, e portanto o plano com n=9 prestações inteiras e pagamento final Y em t=10 faz sentido.
Resumo final dos resultados numéricos já obtidos e arredondados para centavos.

Resposta

n=9 prestações inteiras de \$380
Y=\$258{,}41

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