Qual a melhor alternativa de pagamento de um microcomputador, considerando juros efetivos de 10 \% a.m.?
a) Pagamento a vista de \ 2.300,00 ; b) Pagamento de oito prestações mensais de \(\\) 431,12 cada;
c) Pagamento de quatro prestações mensais de \ 965,75$ cada, sendo a primeira paga somente daqui a quatro meses;
d) Um único pagamento de \ 4.930,26$ daqui a oito meses.

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher a melhor alternativa de pagamento de um microcomputador, considerando juros efetivos de 10\% ao mês.
Informações dadas (interpretação padrão: prestações mensais pagas ao final de cada mês):
  • Alternativa (a): pagamento à vista de \$2.300,00 agora (tempo t=0).
  • Alternativa (b): oito prestações mensais de \$431,12 cada, presumivelmente nos meses t=1,2,\dots,8.
  • Alternativa (c): quatro prestações mensais de \$965,75 cada, sendo a primeira paga somente daqui a quatro meses — ou seja, pagamentos nos meses t=4,5,6,7.
  • Alternativa (d): um único pagamento de \$4.930,26 no mês t=8.
Vou comparar financeiramente as alternativas calculando o valor presente (PV) de cada uma usando taxa efetiva mensal i=10\% = 0,10. A melhor alternativa (financeiramente) é a que tiver o menor valor presente; se todos tiverem o mesmo PV, são equivalentes (indiferentes financeiramente).

Passo 2

Conceito e fórmula do valor presente de um pagamento futuro simples.
Se você deve pagar no tempo t=n uma quantia futura FV, o valor presente PV (o quanto isso vale hoje) é dado por
PV=\frac{FV}{(1+i)^{n}},
onde i é a taxa efetiva por período e n é o número de períodos até o pagamento.
Explicação das variáveis:
  • PV: valor hoje (no tempo zero);
  • FV: valor a ser pago no futuro;
  • i: taxa efetiva por período (aqui i=0,10);
  • n: número de períodos (meses) até o pagamento.

Passo 3

Fórmula do valor presente de uma série de prestações (anuidade ordinária).
Se há n pagamentos iguais R feitos nos tempos t=1,2,\dots,n, o valor presente (no tempo zero) é
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicação: o fator \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} soma os fatores de desconto de cada parcela.
Para uma anuidade que começa apenas no tempo t=k (primeiro pagamento em t=k), você calcula primeiro o PV como se a anuidade começasse em t=1 e, em seguida, desconta esse PV por (k-1) períodos:
PV_{\text{início }t=k} = \left(R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)\cdot(1+i)^{-(k-1)}.í

Passo 4

Cálculo da alternativa (a) — pagamento à vista.
Como o pagamento é imediato,
PV_a = \$2.300,00.

Passo 5

Cálculo da alternativa (b) — oito prestações mensais de \$431,12 (anosidade ordinária com n=8, R=\$431{,}12, i=0{,}10).
Usamos
PV_b = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-8}}{i}.
Substituindo os valores:
PV_b = 431{,}12\cdot\frac{1-(1{,}10)^{-8}}{0{,}10}.
Calculemos (1{,}10)^{8} para obter o fator inverso:
(1{,}10)^{8}=2{,}14358881\quad\Rightarrow\quad (1{,}10)^{-8}\approx 0{,}466507381.
Portanto
\frac{1-(1{,}10)^{-8}}{0{,}10}=\frac{1-0{,}466507381}{0{,}10}=5{,}33492619.
Logo
PV_b \approx 431{,}12\times 5{,}33492619 \approx \$2.300{,}00.
(Arredondamento mostrado: resultado numérico dá aproximadamente \$2.299{,}99, isto é, \$2.300{,}00 ao centavo.)

Passo 6

Cálculo da alternativa (c) — quatro prestações de \$965,75 com primeira em t=4 (pagamentos em t=4,5,6,7).
Aqui R=\$965{,}75, n=4, i=0{,}10, primeiro pagamento em t=4 (logo o fator de defasagem é (1+i)^{-(4-1)}=(1+i)^{-3}). Usamos
PV_c = \left(R\cdot\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}\right)\cdot(1+i)^{-3}.
Calculemos os fatores:
(1{,}10)^{4}=1{,}4641\quad\Rightarrow\quad (1{,}10)^{-4}\approx 0{,}683013455.
Então
\frac{1-(1{,}10)^{-4}}{0{,}10}=\frac{1-0{,}683013455}{0{,}10}=3{,}16986545.
Multiplicando por R:
R\cdot\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}\approx 965{,}75\times 3{,}16986545 \approx 3.061{,}297546
(este é o PV da anuidade no tempo imediatamente anterior ao primeiro pagamento, ou seja, em t=3). Descontando 3 meses para o tempo zero:
(1{,}10)^{3}=1{,}331\quad\Rightarrow\quad (1{,}10)^{-3}\approx 0{,}751314801.
Portanto
PV_c \approx 3.061{,}297546\times 0{,}751314801 \approx \$2.300{,}00.

Passo 7

Cálculo da alternativa (d) — pagamento único de \$4.930,26 em t=8.
Aplicando a fórmula de desconto de um único pagamento:
PV_d=\frac{4.930{,}26}{(1{,}10)^{8}}.
Usando (1{,}10)^{8}=2{,}14358881 (já calculado),
PV_d\approx\frac{4.930{,}26}{2{,}14358881}\approx \$2.300{,}00.

Passo 8

Conclusão e interpretação: todos os valores presentes ficaram iguais, aproximadamente \$2.300{,}00. Isso quer dizer que, sob a taxa efetiva de 10\% ao mês, as quatro alternativas são financeiramente equivalentes — você é indiferente entre elas do ponto de vista do custo financeiro (considerando apenas o valor presente). Em termos práticos, se não houver risco, preferência por liquidez, ou outras condições contratuais, qualquer alternativa é “tanquilamente” aceitável financeiramente.

Resposta

Todas as alternativas são equivalentes — valor presente igual a \$2.300{,}00.

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