( 1,5 pt.) Um bem é financiado em 15 prestações mensais crescentes em progressão aritmética à razão de \mathrm{R} \ 1.400,00por mês. Sabe-se que o valor da9^{\circ}prestação é de\mathrm{R} $22.500,00. Para uma taxa de juros de3,5 %$ ao mês, determine o valor presente deste fluxo de caixa.
Passo 1
O enunciado dá um fluxo de n=15 prestações mensais crescentes em progressão aritmética (PA) de razão d=\mathrm{R}\$1.400,00. Sabe-se que a 9ª prestação vale \mathrm{R}\$22.500,00. A taxa de juros é i=3,5\% ao mês. Queremos o valor presente V_0 desse fluxo.
Passo 2
Primeiro achamos o primeiro termo a_1 da PA. Em geral, o termo a_k é
a_k = a_1 + (k-1)\,d.
Para k=9 temos a_9=22\,500 e d=1\,400, logo
a_1 = a_9 -8\,d =22\,500-8\cdot1\,400 =11\,300.
Passo 3
O valor presente de um fluxo de n pagamentos em PA com primeira prestação a_1, razão d, taxa i e pagamentos no fim de cada mês é
V_0 \;=\;\sum_{k=1}^{n}\frac{a_1+(k-1)d}{(1+i)^k} \;=\;a_1\,\underbrace{\sum_{k=1}^n v^k}_{a_{\overline{n}|i}} \;+\;d\;\underbrace{\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{(1+i)^k}}_{\text{fator de gradiente}},