( 1,5 pt.) Um bem é financiado em 15 prestações mensais crescentes em progressão aritmética à razão de \mathrm{R} \ 1.400,00 por mês. Sabe-se que o valor daê9^{\circ} prestação é deçãé\mathrm{R} $22.500,00 . Para uma taxa de juros de3,5 %$ ao mês, determine o valor presente deste fluxo de caixa.

Passo 1

O enunciado dá um fluxo de n=15 prestações mensais crescentes em progressão aritmética (PA) de razão d=\mathrm{R}\$1.400,00. Sabe-se que a 9ª prestação vale \mathrm{R}\$22.500,00. A taxa de juros é i=3,5\% ao mês. Queremos o valor presente V_0 desse fluxo.

Passo 2

Primeiro achamos o primeiro termo a_1 da PA. Em geral, o termo a_k é
a_k = a_1 + (k-1)\,d.
Para k=9 temos a_9=22\,500 e d=1\,400, logo
a_1 = a_9 -8\,d =22\,500-8\cdot1\,400 =11\,300.

Passo 3

O valor presente de um fluxo de n pagamentos em PA com primeira prestação a_1, razão d, taxa i e pagamentos no fim de cada mês é
V_0 \;=\;\sum_{k=1}^{n}\frac{a_1+(k-1)d}{(1+i)^k} \;=\;a_1\,\underbrace{\sum_{k=1}^n v^k}_{a_{\overline{n}|i}} \;+\;d\;\underbrace{\sum_{k=1}^n\frac{k-1}{(1+i)^k}}_{\text{fator de gradiente}},
onde v=1/(1+i). Há fórmula fechada:
a_{\overline{n}|i} =\sum_{k=1}^n v^k =\frac{1-v^n}{i},
\sum_{k=1}^n (k-1)v^k =\frac{a_{\overline{n}|i}-n\,v^n}{i}.
Portanto
V_0 = a_1\,\frac{1-v^n}{i} + d\,\frac{\displaystyle \frac{1-v^n}{i}-n\,v^n}{i}.

Passo 4

Calculemos numericamente:
i=0{,}035,\quad v=\frac1{1{,}035}\approx0{,}9661836, \quad n=15.
Então
a_{\overline{15}|0{,}035} =\frac{1-v^{15}}{0{,}035} \approx\frac{1-0{,}9661836^{15}}{0{,}035} \approx11{,}52,
\frac{a_{\overline{15}|i}-15\,v^{15}}{i} =\frac{11{,}52-15\cdot0{,}9661836^{15}}{0{,}035} \approx\frac{11{,}52-15\cdot0{,}5968}{0{,}035} \approx73{,}37.

Passo 5

Substituindo em
V_0 = a_1\;a_{\overline{15}|i}+d\;\frac{a_{\overline{15}|i}-15\,v^{15}}{i}
temos
V_0 \approx11\,300\cdot11{,}52 +1\,400\cdot73{,}37 \approx130\,176+102\,718 \approx232\,894.

Resposta

O valor presente do fluxo é aproximadamente \mathrm{R}\$232.894,00.

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