Calcule a transformada de Laplace das funcōes indicadas.
f(s)=5 t^{2}+2 t-\operatorname{sen}(7 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de f(t)=5\,t^{2}+2\,t-\sin(7t). O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos usar a linearidade da transformada e as fórmulas conhecidas:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}, \qquad \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\frac{a}{s^{2}+a^{2}}.

Passo 2

Aplicando a linearidade, escrevemos
\mathcal{L}\{5\,t^{2}+2\,t-\sin(7t)\} =\mathcal{L}\{5\,t^{2}\} +\mathcal{L}\{2\,t\} -\mathcal{L}\{\sin(7t)\}.

Passo 3

Para a parte \mathcal{L}\{5\,t^{2}\} usamos \mathcal{L}\{t^{2}\}=\tfrac{2!}{s^{3}}=\tfrac{2}{s^{3}}. Logo,
\mathcal{L}\{5\,t^{2}\} =5\cdot\frac{2}{s^{3}} =\frac{10}{s^{3}}.

Passo 4

Para \mathcal{L}\{2\,t\} usamos \mathcal{L}\{t\}=\tfrac{1!}{s^{2}}=\tfrac{1}{s^{2}}. Assim,
\mathcal{L}\{2\,t\} =2\cdot\frac{1}{s^{2}} =\frac{2}{s^{2}}.

Passo 5

Para \mathcal{L}\{\sin(7t)\} aplicamos \mathcal{L}\{\sin(a t)\}=\tfrac{a}{s^{2}+a^{2}} com a=7. Então,
\mathcal{L}\{\sin(7t)\} =\frac{7}{s^{2}+49},
e o sinal negativo dá
-\mathcal{L}\{\sin(7t)\} =-\frac{7}{s^{2}+49}.

Passo 6

Somando as partes transformadas, obtemos
F(s)=\frac{10}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{7}{s^{2}+49}.

Resposta

F(s)=\frac{10}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}-\frac{7}{s^{2}+49}.

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