( 1,5 \mathrm{pt}.) Um banco oferece um financiamento de \mathrm{R} \ 180.000,00 para ser liquidado em 24 pagamentos mensais, podendo na amortização ser usado tanto o SAC como o SPC. O financiamento não prevê carência e a taxa de juros é deçããêêé6 %$ ao mês. O tomador do empréstimo está em dúvida quanto ao sistema de amortização que deve escolher. Para tanto, necessita de informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento. Determine:
(a) Em qual pagamento as parcelas das prestações se tornam iguais nos dois sistemas;
(b) Após o 12^{\circ} pagamento, qual o percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC e SPC.

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo de \text{R\$ }180\,000 para n=24 meses, com juros de i=6\% ao mês, e pede:
(a) em qual prestação a parcela do SAC fica igual à do SPC (Price);
(b) após a 12ª prestação, qual o percentual do saldo devedor em relação à dívida inicial em cada sistema.

Passo 2

No SAC (Sistema de Amortização Constante) a amortização mensal é
A_0 = \frac{180\,000}{24} = 7\,500.
O saldo devedor antes da k-ésima prestação é
SD_{k-1}^{\text{SAC}} = 180\,000 - (k-1)\cdot 7\,500,
e a k-ésima prestação vale
P_k^{\text{SAC}} = A_0 + i\,SD_{k-1}^{\text{SAC}} = 7\,500 + 0{,}06\bigl[180\,000 - (k-1)\cdot 7\,500\bigr].
No SPC (Price), a prestação R é constante e dada por
R = 180\,000 \;\frac{0{,}06\,(1{,}06)^{24}}{(1{,}06)^{24}-1}.
Calculando numericamente (1{,}06)^{24}\approx4{,}048, obtemos
R \approx 180\,000 \times \frac{0{,}06\cdot4{,}048}{4{,}048-1} \approx 14\,342{,}94.

Passo 3

Igualamos P_k^{\text{SAC}}=R. No SAC a fórmula se simplifica para
P_k^{\text{SAC}} = 18\,750 - 450\,k.
Logo
18\,750 - 450\,k = 14\,342{,}94 \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{18\,750 - 14\,342{,}94}{450}\approx9{,}80.
Isto significa que a igualdade ocorre entre a 9ª e a 10ª prestação. A partir da 10ª prestação o valor do SAC fica menor que o SPC.

Passo 4

No SAC, o saldo devedor após k prestações é
SD_k^{\text{SAC}} = 180\,000 - k\cdot 7\,500.
Para k=12:
SD_{12}^{\text{SAC}} = 180\,000 - 12\cdot7\,500 = 90\,000,
ou seja 50\% da dívida inicial.

Passo 5

No SPC, o saldo devedor após k prestações é o valor presente das n-k prestações restantes:
SD_k^{\text{SPC}} = R \;\frac{1 - (1+i)^{-(n-k)}}{i}.
Para k=12, n-k=12, temos
SD_{12}^{\text{SPC}} = 14\,342{,}94 \;\frac{1 - 1{,}06^{-12}}{0{,}06} \approx 120\,200
que dá cerca de 66{,}8\% da dívida inicial.

Resposta

(a) A igualdade ocorre entre a 9ª e a 10ª prestação (em k\approx9{,}8).
(b) Após a 12ª prestação:
– SAC: SD_{12}=90\,000, isto é 50\%.
– SPC: SD_{12}\approx120\,200, isto é 66{,}8\%.

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