Um certo número de candidatos apresentou-se para algumas vagas como trainees em uma grande empresa. Suponha que o número de vagas e a composição dos candidatos sejam as seguintes:
Há 6 vagas, e 40 homens e 30 mulheres disputando-as.
- Calcule a probabilidade de que apenas homens sejam escolhidos.
- Calcule a probabilidade de que apenas mulheres sejam escolhidas.
- Calcule a probabilidade de que a maioria dos escolhidos sejam homens.
- Calcule a probabilidade de que a maioria dos escolhidos sejam mulheres.
- Calcule a probabilidade de que exatamente 3 mulheres sejam escolhidas.
- Supondo que os 6 sejam do mesmo sexo, qual é a probabilidade que sejam mulheres?
Há 6 vagas, e 40 homens e 30 mulheres disputando-as.
Passo 1
O problema pede para escolher aleatoriamente 6 trainees dentre 70 candidatos (40 homens e 30 mulheres). Vamos modelar isso com uma distribuição hipergeométrica, onde todos os subconjuntos de tamanho 6 são equiprováveis. Precisamos usar coeficientes binomiais
e o total de casos possíveis é
.
Passo 2
Para a probabilidade de que só homens sejam escolhidos, contamos quantos jeitos de escolher 6 dentre os 40 homens há e dividimos pelo total de
.
Passo 3
Para a probabilidade de que só mulheres sejam escolhidas, fazemos o mesmo com as 30 mulheres:
Passo 4
Para a maioria de homens precisamos que haja 4, 5 ou 6 homens no grupo. Somamos as probabilidades desses casos:
Passo 5
Para a maioria de mulheres, contamos 4, 5 ou 6 mulheres:
Passo 6
Para exatamente 3 mulheres (e logo 3 homens), é:
Passo 7
Finalmente, se sabemos que os 6 escolhidos são todos do mesmo sexo, a probabilidade de serem mulheres é a razão entre o caso “6 mulheres” e a soma dos casos “6 homens” mais “6 mulheres”:
Resposta
P(6 homens)=\n\displaystyle\frac{\binom{40}{6}}{\binom{70}{6}}; P(6 mulheres)=\n\displaystyle\frac{\binom{30}{6}}{\binom{70}{6}}; P(maioria homens)=\n\displaystyle\frac{\binom{40}{4}\binom{30}{2}+\binom{40}{5}\binom{30}{1}+\binom{40}{6}\binom{30}{0}}{\binom{70}{6}}; P(maioria mulheres)=\n\displaystyle\frac{\binom{30}{4}\binom{40}{2}+\binom{30}{5}\binom{40}{1}+\binom{30}{6}\binom{40}{0}}{\binom{70}{6}}; P(exatamente 3 mulheres)=\n\displaystyle\frac{\binom{30}{3}\binom{40}{3}}{\binom{70}{6}}; P(todas mulheres | mesmo sexo)=\n\displaystyle\frac{\binom{30}{6}}{\binom{30}{6}+\binom{40}{6}}.