Um certo número de candidatos apresentou-se para algumas vagas como trainees em uma grande empresa. Suponha que o número de vagas e a composição dos candidatos sejam as seguintes:
Há 5 vagas, e 40 homens e 30 mulheres disputando-as.
  • Calcule a probabilidade de que apenas homens sejam escolhidos.
  • Calcule a probabilidade de que apenas mulheres sejam escolhidas.
  • Calcule a probabilidade de que a maioria dos escolhidos sejam homens.
  • Calcule a probabilidade de que a maioria dos escolhidos sejam mulheres.
  • Supondo que os 5 sejam do mesmo sexo, qual é a probabilidade de que sejam homens?

Passo 1

Neste exercício temos 5 vagas e um total de 70 candidatos (40 homens e 30 mulheres). O conteúdo é probabilidade combinatória (hipergeométrica), em que contamos de quantas maneiras selecionar certos números de homens e mulheres e dividimos pelo total de seleções possíveis. Vamos usar a combinação binomnk para contar escolhas.

Passo 2

Para calcular a probabilidade de escolher apenas homens, contamos as formas de escolher 5 homens entre 40 e dividimos pelas formas de escolher 5 pessoas entre 70.
P(5 homens) = binom405binom705

Passo 3

Para calcular a probabilidade de escolher apenas mulheres, contamos as formas de escolher 5 mulheres entre 30 e dividimos pelo total de seleções de 5 entre 70.
P(5 mulheres) = binom305binom705

Passo 4

Para a probabilidade de que a maioria escolhida seja de homens, somamos os casos em que há 3, 4 ou 5 homens:
P(maioria de homens) = sumk=3^5 binom40k,binom305-kbinom705

Passo 5

De modo análogo, para a maioria de mulheres somamos os casos com 3, 4 ou 5 mulheres:
P(maioria de mulheres) = sumk=3^5 binom30k,binom405-kbinom705

Passo 6

Por fim, dado que os 5 selecionados são do mesmo sexo (evento E), a probabilidade de serem homens é
P(5Hmid E)=P(5H)P(5H)+P(5M) = binom405binom405+binom305

Resposta

As probabilidades ficam:
  1. Apenas homens: tfracbinom405binom705approx0.05435
  2. Apenas mulheres: tfracbinom305binom705approx0.01177
  3. Maioria de homens: tfrac7,697,50812,103,014approx0.6357
  4. Maioria de mulheres: tfrac4,405,50612,103,014approx0.3643
  5. Se todos são do mesmo sexo, probabilidade de serem homens: tfracbinom405binom405+binom305approx0.8223.

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