(Berkeley) Uma cuba de comprimento 2L é preenchida com água até uma altura h. O líquido, inicialmente em repouso, é colocado para oscilar de forma que nas bordas se afaste da posição de equilíbrio de varepsilon, como indicado na figura.
Calcule a posição do centro de massa do líquido em função de varepsilon.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cuba com comprimento 2L cheia de água até uma altura h. Inicialmente, a água está parada, mas depois começa a oscilar de forma que, nas bordas, a água se afasta da posição de equilíbrio em uma distância varepsilon. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro de massa desse líquido em função de varepsilon.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como calcular o centro de massa de um sistema que está deformado. Vamos dividir isso em passos simples para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a água está se movendo. Quando a cuba oscila, a superfície da água se deforma formando uma curva. Assumindo que as oscilações são pequenas (ou seja, varepsilon é pequeno), podemos aproximar a forma da superfície da água usando uma função trigonométrica simples, como uma senoide. Então, a altura da água em qualquer ponto ao longo do comprimento da cuba pode ser expressa como:
y(x) = h + varepsilon cos(pi x2L)
Aqui, x varia de -L a L, cobrindo todo o comprimento da cuba.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o centro de massa vertical da água. O centro de massa $ \bar{y} $ é a média ponderada das alturas, ou seja:
bary
Onde bary = 1A integral-L^L y(x) cdot dx é a área total da seção da água, dada por:
A

Passo 4

Vamos calcular A primeiro. Substituindo y(x) na expressão de A:
A = integral-L^L (h + varepsilon cos(pi x2L)) dx = integral-L^L h , dx + varepsilon integral-L^L cos(pi x2L) dx
A primeira integral é simples:
integral-L^L h , dx = h cdot (2L) = 2hL
A segunda integral envolve a função cosseno:
integral-L^L cos(pi x2L) dx = 2Lpi [ sin(pi x2L) ]-L^L = 2Lpi ( sin(pi2) - sin(-pi2) ) = 2Lpi (1 - (-1)) = 4Lpi
Portanto:
A = 2hL + varepsilon cdot 4Lpi

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral no numerador para $ \bar{y} $:
bary
Expandindo os termos:
integral-L^L y(x) cdot y(x) , dx = integral-L^L (h + varepsilon cos(pi x2L)) cdot (h + varepsilon cos(pi x2L)) dx
Vamos resolver cada parte:
  1. integral-L^L ( h^2 + 2hvarepsilon cos(pi x2L) + varepsilon^2 cos^2(pi x2L) ) dx
  2. integral-L^L h^2 , dx = h^2 cdot 2L (como calculamos antes)
  3. A última parte envolvendo integral-L^L 2hvarepsilon cos(pi x2L) dx = 2hvarepsilon cdot 4Lpi será muito pequena e, para simplificar, podemos ignorar esse termo se varepsilon^2 for pequeno.
Então, temos:
varepsilon

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula do centro de massa:
bary = 2h^2 L + 8hvarepsilon Lpi2hL + 4varepsilon Lpi = 2h^2 + 8hvarepsilonpi2h + 4varepsilonpi
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
bary = h^2 + 4hvarepsilonpih + 2varepsilonpi
Para simplificar ainda mais, fazemos uma aproximação considerando varepsilon muito menor que h:
bary approx h^2h + 4hvarepsilonpi h = h + 4varepsilonpi

Resposta

O centro de massa do líquido está localizado em:
bary = h + 4,varepsilonpi

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