(Berkeley) Uma cuba de comprimento 2L é preenchida com água até uma altura h. O líquido, inicialmente em repouso, é colocado para oscilar de forma que nas bordas se afaste da posição de equilíbrio de
, como indicado na figura.
Calcule a posição do centro de massa do líquido em função de
.
Calcule a posição do centro de massa do líquido em função de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma cuba com comprimento
cheia de água até uma altura
. Inicialmente, a água está parada, mas depois começa a oscilar de forma que, nas bordas, a água se afasta da posição de equilíbrio em uma distância
. Nosso objetivo é descobrir onde fica o centro de massa desse líquido em função de
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estática de fluidos, especificamente como calcular o centro de massa de um sistema que está deformado. Vamos dividir isso em passos simples para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em como a água está se movendo. Quando a cuba oscila, a superfície da água se deforma formando uma curva. Assumindo que as oscilações são pequenas (ou seja,
é pequeno), podemos aproximar a forma da superfície da água usando uma função trigonométrica simples, como uma senoide. Então, a altura da água em qualquer ponto ao longo do comprimento da cuba pode ser expressa como:
Aqui,
varia de
a
, cobrindo todo o comprimento da cuba.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o centro de massa vertical da água. O centro de massa $ \bar{y} $ é a média ponderada das alturas, ou seja:
Onde
é a área total da seção da água, dada por:
Passo 4
Vamos calcular
primeiro. Substituindo
na expressão de
:
A primeira integral é simples:
A segunda integral envolve a função cosseno:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral no numerador para $ \bar{y} $:
Expandindo os termos:
Vamos resolver cada parte:
-
-
(como calculamos antes) - A última parte envolvendo
será muito pequena e, para simplificar, podemos ignorar esse termo se for pequeno.
Então, temos:
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula do centro de massa:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Para simplificar ainda mais, fazemos uma aproximação considerando
muito menor que
:
Resposta
O centro de massa do líquido está localizado em: