Qual é o comprimento de onda de De Broglie (em Angstrom) para um elétron com velocidade v=0,990 c ?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o comprimento de onda de De Broglie para um elétron que está se movendo a uma velocidade de v = 0,990 , c, onde c é a velocidade da luz. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de De Broglie, que relaciona a velocidade de uma partícula ao seu comprimento de onda.

Passo 2

A fórmula de De Broglie é dada por:
lambda = hp
onde:
  • lambda é o comprimento de onda,
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J·s),
  • p é o momento da partícula.

Passo 3

Para partículas que se movem a velocidades próximas à da luz (como no nosso caso), precisamos considerar a relatividade especial. O momento relativístico é calculado por:
p = gamma m v
onde:
  • gamma é o fator de Lorentz,
  • m é a massa do elétron,
  • v é a velocidade da partícula.

Passo 4

O fator de Lorentz ( gamma) é dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Substituindo v = 0,990 , c:
gamma = 1raiz1 - (0,990)^2 = 1raiz1 - 0,9801 = 1raiz0,0199 approx 7,09

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento ( p):
  • Massa do elétron, m = 9,109 times 10^-31 , kg.
  • Velocidade, v = 0,990 , c = 0,990 times 3,00 times 10^8 , m/s = 2,97 times 10^8 , m/s.
Então,
p = gamma m v = 7,09 times 9,109 times 10^-31 times 2,97 times 10^8 approx 1,92 times 10^-21 , kg·m/s

Passo 6

Agora podemos calcular o comprimento de onda de De Broglie:
lambda = hp = 6,626 times 10^-34 , J·s1,92 times 10^-21 , kg·m/s approx 3,45 times 10^-13 , m
Convertendo para angstroms ( 1 , AA = 10^-10 , m):
lambda approx 3,45 times 10^-13 , m times 1 times 10^10 , AA1 , m = 3,45 times 10^-3 , AA = 0,00345 , AA

Resposta

O comprimento de onda de De Broglie para o elétron é aproximadamente 0,00345 , AA.

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