Segundo o Observatório Nacional a aceleração da gravidade no Rio de Janeiro vale
. Se você pretende construir um relógio de pêndulo cujo ponteiro se mova a cada segundo,
Se ao final de um dia a hora marcada por este relógio estiver errada por no máximo um minuto, qual deve ser a precisão do comprimento do pêndulo?
Se ao final de um dia a hora marcada por este relógio estiver errada por no máximo um minuto, qual deve ser a precisão do comprimento do pêndulo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre construir um relógio de pêndulo no Rio de Janeiro, onde a aceleração da gravidade é $ g = 9,787899 , \mathrm{m/s}^2 $. Queremos que o ponteiro do relógio se mova a cada segundo e, após um dia inteiro, o relógio não esteja errando mais que um minuto. Para isso, precisamos descobrir quão precisa deve ser o comprimento do pêndulo. Vamos usar a física do pêndulo para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula do período $ T $ de um pêndulo simples, que é o tempo que ele leva para completar uma oscilação completa (ida e volta):
Onde:
- $ T $ é o período,
- $ L $ é o comprimento do pêndulo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade.
Como queremos que o ponteiro se mova a cada segundo, isso significa que o período $ T $ deve ser de 2 segundos (uma oscilação completa leva 2 segundos).
Passo 3
Agora, vamos resolver a fórmula para encontrar o comprimento $ L $:
Substituindo os valores:
Então, o comprimento ideal do pêndulo é aproximadamente 0,991 metros.
Passo 4
Agora, precisamos descobrir quão preciso deve ser esse comprimento para que, após um dia (24 horas), o relógio não esteja errando mais que um minuto.
Primeiro, vamos calcular quantos ciclos (oscilações completas) ocorrem em um dia:
Como cada oscilação completa leva 2 segundos:
Queremos que, após 43.200 oscilações, o relógio não esteja errando mais que 1 minuto, ou seja, não mais que 60 segundos. Como cada oscilação de 2 segundos não deve acumular mais que uma fração dessa margem, a variação no período $ \Delta T $ deve ser tal que:
Agora, vamos relacionar essa variação no período com a variação no comprimento usando derivadas. A derivada de $ T $ em relação a $ L $ é:
Então, a variação no comprimento $ \Delta L $ está relacionada à variação no período $ \Delta T $ por:
Simplificando e rearranjando, obtemos a relação entre a variação relativa no comprimento e a variação relativa no período:
Substituindo $ \Delta T $ e $ T $:
Convertendo para milímetros:
Então, a variação no comprimento deve ser de aproximadamente 1,374 milímetros.
Resposta
A precisão necessária no comprimento do pêndulo deve ser de, no máximo, aproximadamente 1,4 milímetros para que, após um dia, o relógio não esteja errando mais que um minuto.