Um besouro B se movimenta sobre um tronco de árvore de acordo com a trajetória dada pela curva C de equação r(t)=(\cos (2 t), 2 t, \operatorname{sen}(2 t)), t \in[0,2 \pi], sendo a distância medida em m :
a) B se encontra em qual ponto Q quando t=\pi / 4 e qual o seu vetor velocidade v neste ponto Q ?
b) Que distância L, em m, foi percorrida por B durante o intervalo de tempo t \in[0,2 \pi] ?
c) Mostre que, em todo ponto da trajetória, o vetor velocidade de \boldsymbol{B} é perpendicular ao seu vetor aceleração
e pede:
a) a posição Q=r(\pi/4) e o vetor velocidade \mathbf v=r'(\pi/4);
b) o comprimento de arco
L = \int_{0}^{2\pi}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt;
c) mostrar que \mathbf v é sempre perpendicular à aceleração \mathbf a=r''(t).
Para resolver vamos usar: derivada componente a componente, fórmula de comprimento de arco e produto escalar.
a) Q = \bigl(0,\tfrac{\pi}{2},1\bigr) e \mathbf v = (-2,2,0).
b) L = 4\pi\sqrt2.
c) r'(t)\cdot r''(t)=0, logo velocidade e aceleração são sempre perpendiculares.