Um besouro B se movimenta sobre um tronco de árvore de acordo com a trajetória dada pela curva C de equação r(t)=(\cos (2 t), 2 t, \operatorname{sen}(2 t)), t \in[0,2 \pi], sendo a distância medida em m :
a) B se encontra em qual ponto Q quando t=\pi / 4 e qual o seu vetor velocidade v neste ponto Q ?
b) Que distância L, em m, foi percorrida por B durante o intervalo de tempo t \in[0,2 \pi] ?
c) Mostre que, em todo ponto da trajetória, o vetor velocidade de \boldsymbol{B} é perpendicular ao seu vetor aceleração
Resp; a) Q=
b) L=

Passo 1

O enunciado dá a trajetória do besouro por
r(t) = \bigl(\cos(2t),\,2t,\,\sin(2t)\bigr),\quad t\in[0,2\pi],
e pede:
a) a posição Q=r(\pi/4) e o vetor velocidade \mathbf v=r'(\pi/4);
b) o comprimento de arco
L = \int_{0}^{2\pi}\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt;
c) mostrar que \mathbf v é sempre perpendicular à aceleração \mathbf a=r''(t).
Para resolver vamos usar: derivada componente a componente, fórmula de comprimento de arco e produto escalar.

Passo 2

Derivando componente a componente temos
r'(t) = \bigl(-2\sin(2t),\;2,\;2\cos(2t)\bigr).
Em t=\pi/4 obtemos
Q = r\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \bigl(\cos(\tfrac{\pi}{2}),\;2\cdot\tfrac{\pi}{4},\;\sin(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \bigl(0,\;\tfrac{\pi}{2},\;1\bigr),
\mathbf v = r'\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) = \bigl(-2\sin(\tfrac{\pi}{2}),\;2,\;2\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr) = \bigl(-2,\;2,\;0\bigr).

Passo 3

Para o comprimento de arco precisamos de
\bigl\|r'(t)\bigr\| = \sqrt{(-2\sin(2t))^2 + 2^2 + (2\cos(2t))^2} = \sqrt{4\sin^2(2t)+4+4\cos^2(2t)} = \sqrt{8} = 2\sqrt2.
Então
L = \int_{0}^{2\pi}2\sqrt2\,dt = 2\sqrt2\,(2\pi) = 4\pi\sqrt2.

Passo 4

A aceleração é
r''(t) = \bigl(-4\cos(2t),\;0,\;-4\sin(2t)\bigr).
O produto escalar r'(t)\cdot r''(t) é
(-2\sin2t)(-4\cos2t) + 2\cdot0 + (2\cos2t)(-4\sin2t) = 8\sin2t\cos2t -8\sin2t\cos2t = 0,
logo \mathbf v\perp\mathbf a em todo ponto.

Resposta

a) Q = \bigl(0,\tfrac{\pi}{2},1\bigr) e \mathbf v = (-2,2,0).
b) L = 4\pi\sqrt2.
c) r'(t)\cdot r''(t)=0, logo velocidade e aceleração são sempre perpendiculares.

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