Suponha que T(x, y)=40-x^{2}-2 y^{2} represente uma distribuição de temperatura em uma determinada região sobre o plano x y, \operatorname{com} x e y medidos em m e T \mathrm{em}{ }^{\circ} C. Um individuo I encontra-se na posição P(-3,2) e pretende dar um passeio:
a) Calcule a temperatura no ponto P, \frac{\partial T}{\partial x}(P) e \frac{\partial T}{\partial y}(P). Se o individuo se movimentar na direção e sentido do eixo y, ele se aquece ou se resfria? Explique
b) Determine \frac{\partial T}{\partial v}(P) para v=(4,-3)
c) Em qual direção (vetor) \boldsymbol{I} deverá caminhar, a partir de P, para alcançar a maior taxa de crescimento da temperatura? Qual o valor dessa taxa?
d) Apresente uma equação, na forma padrão, para a curva C que deverá ser percorrida, a partir de P, se I quiser desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto P. Como se denomina C ?
e) (Extra) Represente em \mathbb{R}^{3} a porção do gráfico da temperatura que se localiza acima do plano xy. Deixe indicados, em sua representação, os 3 eixos coordenados

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
T(x,y)=40 - x^2 - 2y^2
que fornece a temperatura em {}^\circ C no ponto (x,y). A pessoa está em P(-3,2) e pede-se:
– a) valor de T em P, as derivadas parciais ali e a variação ao mover‐se na direção do eixo y.
– b) derivada direcional em v=(4,-3).
– c) direção e valor do máximo crescimento (gradiente).
– d) equação da curva onde T permanece constante em 23^\circ C e nome dessa curva.
– e) descrição da parte do gráfico acima de xy.

Passo 2

Para a parte (a):
– Calculamos
T(-3,2)=40 - (-3)^2 - 2\,(2)^2 = 40 - 9 - 8 = 23.
– As derivadas parciais gerais são
\frac{\partial T}{\partial x} = -2x, \qquad \frac{\partial T}{\partial y} = -4y.
Em P(-3,2):
\frac{\partial T}{\partial x}(P) = -2\cdot(-3)=6, \qquad \frac{\partial T}{\partial y}(P) = -4\cdot2 = -8.
Mover‐se no sentido positivo de y equivale ao vetor (0,1), cuja taxa é \partial T/\partial y = -8<0. Logo, ele se resfria.

Passo 3

Para a parte (b), com v=(4,-3):
– Norma \|v\|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5, vetor unitário
u = \frac{v}{\|v\|} = \Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr).
– Derivada direcional em u:
D_uT(P)=\nabla T(P)\cdot u = (6,-8)\cdot\Bigl(\tfrac{4}{5},-\tfrac{3}{5}\Bigr) = \frac{24}{5} + \frac{24}{5} = \frac{48}{5}.

Passo 4

Para a parte (c), o gradiente é
\nabla T(P) = \Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial x}(P), \tfrac{\partial T}{\partial y}(P)\Bigr) = (6,-8).
– Direção de maior crescimento: a do próprio \nabla T(P), ou seja (6,-8) (unitário (3/5,-4/5)).
– Valor máximo da taxa:
\|\nabla T(P)\| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36+64} = 10.

Passo 5

Para a parte (d), a curva de nível passando por P satisfaz
T(x,y)=23 \;\Longrightarrow\; 40 - x^2 -2y^2 =23 \;\Longrightarrow\; x^2 + 2y^2 =17.
Em forma padrão:
\frac{x^2}{17} + \frac{y^2}{17/2} = 1.
É uma elipse, chamada curva de nível ou isoterma.

Passo 6

Para a parte (e), o gráfico de T é o paraboloide elíptico
z = 40 - x^2 -2y^2,
com vértice em (0,0,40) apontando para baixo. A porção acima do plano xy é dada por z\ge0, i.e.\ x^2+2y^2\le40. Em \mathbb R^3 traçam-se os eixos x, y (no plano) e z (vertical) e a “tampa” deste paraboloide.

Resposta

a) \,T(P)=23, \,\partial T/\partial x(P)=6, \,\partial T/\partial y(P)=-8. Ao mover-se no sentido de y positivo, ele se resfria.
b) \,D_vT(P)=\tfrac{48}{5}.
c) Direção de maior crescimento: \nabla T(P)=(6,-8) (unitário (3/5,-4/5)); taxa máxima 10.
d) Curva de nível: x^2 + 2y^2 =17, uma elipse (isoterma).
e) Superfície: paraboloide elíptico z=40 - x^2 -2y^2 acima do plano xy.

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