Suponha que
represente uma distribuição de temperatura em uma determinada região sobre o plano
e
medidos em
e
. Um individuo
encontra-se na posição
e pretende dar um passeio:
a) Calcule a temperatura no ponto
e
. Se o individuo se movimentar na direção e sentido do eixo
, ele se aquece ou se resfria? Explique
b) Determine
para
c) Em qual direção (vetor)
deverá caminhar, a partir de
, para alcançar a maior taxa de crescimento da temperatura? Qual o valor dessa taxa?
d) Apresente uma equação, na forma padrão, para a curva
que deverá ser percorrida, a partir de
, se
quiser desfrutar sempre da mesma temperatura do ponto
. Como se denomina
?
e) (Extra) Represente em
a porção do gráfico da temperatura que se localiza acima do plano xy. Deixe indicados, em sua representação, os 3 eixos coordenados
a) Calcule a temperatura no ponto
b) Determine
c) Em qual direção (vetor)
d) Apresente uma equação, na forma padrão, para a curva
e) (Extra) Represente em
Passo 1
O enunciado nos dá a função de duas variáveis
que fornece a temperatura em
no ponto
. A pessoa está em
e pede-se:
– a) valor de em
, as derivadas parciais ali e a variação ao mover‐se na direção do eixo
.
– b) derivada direcional em .
– c) direção e valor do máximo crescimento (gradiente).
– d) equação da curva onde permanece constante em
e nome dessa curva.
– e) descrição da parte do gráfico acima de .
– a) valor de
– b) derivada direcional em
– c) direção e valor do máximo crescimento (gradiente).
– d) equação da curva onde
– e) descrição da parte do gráfico acima de
Passo 2
Para a parte (a):
– Calculamos
– Calculamos
– As derivadas parciais gerais são
Em
:
Mover‐se no sentido positivo de
equivale ao vetor
, cuja taxa é
. Logo, ele se resfria.
Passo 3
Para a parte (b), com
:
– Norma , vetor unitário
– Norma
– Derivada direcional em
:
Passo 4
Para a parte (c), o gradiente é
– Direção de maior crescimento: a do próprio
, ou seja
(unitário
).
– Valor máximo da taxa:
– Valor máximo da taxa:
Passo 5
Para a parte (d), a curva de nível passando por
satisfaz
Em forma padrão:
É uma elipse, chamada curva de nível ou isoterma.
Passo 6
Para a parte (e), o gráfico de
é o paraboloide elíptico
com vértice em
apontando para baixo. A porção acima do plano
é dada por
, i.e.\
. Em
traçam-se os eixos
,
(no plano) e
(vertical) e a “tampa” deste paraboloide.
Resposta
a)
,
,
. Ao mover-se no sentido de
positivo, ele se resfria.
b)
c) Direção de maior crescimento: (unitário
); taxa máxima
.
d) Curva de nível: , uma elipse (isoterma).
e) Superfície: paraboloide elíptico acima do plano
.
b)
c) Direção de maior crescimento:
d) Curva de nível:
e) Superfície: paraboloide elíptico