Estabeleça uma correspondência entre cada equação de superfície à esquerda e uma propriedade sua à direita:
Equação da Superficie: escreva ao lado a sua denominação matemática (não precisa justificar)
Propriedade (Justificar as respostas desta coluna)
A)
I. ( ) A curva de interseção com o plano
é uma hipérbole com eixos de simetria paralelos ao eixo
e ao eixo
B)
II. ( ) A interseção com o plano
é vazia
C)
III. ( ) A curva de interseção com o plano
é uma hipérbole que intercepta o eixo x
D)
IV. ( ) A curva de interseção com o plano
é uma elipse não circular.
Equação da Superficie: escreva ao lado a sua denominação matemática (não precisa justificar) | Propriedade (Justificar as respostas desta coluna) |
A)
|
I. ( ) A curva de interseção com o plano
|
B)
|
II. ( ) A interseção com o plano
|
C)
|
III. ( ) A curva de interseção com o plano
|
D)
|
IV. ( ) A curva de interseção com o plano
|
Passo 1
O enunciado pede que, para cada superfície quádrupla dada, a gente escreva seu nome matemático (tipo de quádrica) e, em seguida, associe cada uma a uma das quatro propriedades I–IV, justificando apenas as interseções descritas em I–IV. O conteúdo principal é classificação de superfícies quádricas e análise de curvas de interseção com planos.
Passo 2
Vamos primeiro identificar o tipo de cada equação:
A) é um paraboloide elíptico que abre para cima.
B) é um hiperbolóide de uma folha (pois há apenas um sinal “–”).
C) é um paraboloide hiperbólico (sela).
D) é um hiperbolóide de duas folhas (dois sinais “–” no lado direito).
A)
B)
C)
D)
Passo 3
Propriedade I: “A curva de interseção com o plano
é uma hipérbole com eixos de simetria paralelos ao eixo
e ao eixo
.”
Para cada superfície, impondo :
– A) não dá reais.
– B) vira
, círculo.
– C) ↔
↔
, que é uma hipérbole com eixos paralelos a
e
.
– D) ↔
↔
, círculo.
Logo I corresponde à superfície C.
Para cada superfície, impondo
– A)
– B)
– C)
– D)
Logo I corresponde à superfície C.
Passo 4
Propriedade II: “A interseção com o plano
é vazia.”
Para :
– A) tem soluções (elipse).
– B) ↔
, tem soluções (círculo).
– C) tem soluções (hipérbole).
– D) ↔
↔
, impossível em reais.
Portanto II corresponde à superfície D.
Para
– A)
– B)
– C)
– D)
Portanto II corresponde à superfície D.
Passo 5
Propriedade III: “A curva de interseção com o plano
é uma hipérbole que intercepta o eixo
.”
No plano temos
. Então:
– A) é parábola.
– B) é hipérbole e, para
,
intercepta o eixo
.
– C) (com
) é parábola.
– D) é hipérbole, mas não intercepta o eixo
(não há ponto com
).
Logo III corresponde à superfície B.
No plano
– A)
– B)
– C)
– D)
Logo III corresponde à superfície B.
Passo 6
Propriedade IV: “A curva de interseção com o plano
é uma elipse não circular.”
Para :
– A) é elipse com raios distintos, não circular.
– B) ↔
é círculo.
– C) é hipérbole.
– D) ↔
é círculo.
Assim IV corresponde à superfície A.
Para
– A)
– B)
– C)
– D)
Assim IV corresponde à superfície A.
Resposta
A) paraboloide elíptico – IV
B) hiperbolóide de uma folha – III
C) paraboloide hiperbólico – I
D) hiperbolóide de duas folhas – II
B) hiperbolóide de uma folha – III
C) paraboloide hiperbólico – I
D) hiperbolóide de duas folhas – II