Estabeleça uma correspondência entre cada equação de superfície à esquerda e uma propriedade sua à direita:
Equação da Superficie: escreva ao lado a sua denominação matemática (não precisa justificar) Propriedade (Justificar as respostas desta coluna)
A) z=x^{2}+\frac{y^{2}}{16} I. ( ) A curva de interseção com o plano z=-3 é uma hipérbole com eixos de simetria paralelos ao eixo x e ao eixo y
B) x^{2}+y^{2}-z^{2}=1 II. ( ) A interseção com o plano z=\frac{1}{2} é vazia
C) z=\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4} III. ( ) A curva de interseção com o plano x z é uma hipérbole que intercepta o eixo x
D) z^{2}-x^{2}-y^{2}=1 IV. ( ) A curva de interseção com o plano z=9 é uma elipse não circular.

Passo 1

O enunciado pede que, para cada superfície quádrupla dada, a gente escreva seu nome matemático (tipo de quádrica) e, em seguida, associe cada uma a uma das quatro propriedades I–IV, justificando apenas as interseções descritas em I–IV. O conteúdo principal é classificação de superfícies quádricas e análise de curvas de interseção com planos.

Passo 2

Vamos primeiro identificar o tipo de cada equação:
A) \displaystyle z = x^2 + \frac{y^2}{16} é um paraboloide elíptico que abre para cima.
B) \displaystyle x^2 + y^2 - z^2 = 1 é um hiperbolóide de uma folha (pois há apenas um sinal “–”).
C) \displaystyle z = \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} é um paraboloide hiperbólico (sela).
D) \displaystyle z^2 - x^2 - y^2 = 1 é um hiperbolóide de duas folhas (dois sinais “–” no lado direito).

Passo 3

Propriedade I: “A curva de interseção com o plano z=-3 é uma hipérbole com eixos de simetria paralelos ao eixo x e ao eixo y.”
Para cada superfície, impondo z=-3:
– A) x^2 + \tfrac{y^2}{16} = -3 não dá reais.
– B) x^2 + y^2 - (-3)^2 =1 vira x^2+y^2=10, círculo.
– C) \tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{4}=-3 -\tfrac{x^2}{9}+\tfrac{y^2}{4}=3 \tfrac{y^2}{12}-\tfrac{x^2}{27}=1, que é uma hipérbole com eixos paralelos a x e y.
– D) (-3)^2 - x^2 - y^2 =1 9 - x^2 - y^2 =1 x^2+y^2=8, círculo.
Logo I corresponde à superfície C.

Passo 4

Propriedade II: “A interseção com o plano z=\tfrac12 é vazia.”
Para z=\tfrac12:
– A) x^2+\tfrac{y^2}{16}=\tfrac12 tem soluções (elipse).
– B) x^2+y^2-(\tfrac12)^2=1 x^2+y^2=1{,}25, tem soluções (círculo).
– C) \tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{4}=\tfrac12 tem soluções (hipérbole).
– D) (\tfrac12)^2 - x^2 - y^2 =1 \tfrac14 - x^2 - y^2 =1 x^2+y^2=-\tfrac34, impossível em reais.
Portanto II corresponde à superfície D.

Passo 5

Propriedade III: “A curva de interseção com o plano xz é uma hipérbole que intercepta o eixo x.”
No plano xz temos y=0. Então:
– A) z=x^2 é parábola.
– B) x^2 - z^2 =1 é hipérbole e, para z=0, x^2=1 intercepta o eixo x.
– C) z=\tfrac{x^2}{9} (com y=0) é parábola.
– D) z^2 - x^2 =1 é hipérbole, mas não intercepta o eixo x (não há ponto com z=0).
Logo III corresponde à superfície B.

Passo 6

Propriedade IV: “A curva de interseção com o plano z=9 é uma elipse não circular.”
Para z=9:
– A) x^2+\tfrac{y^2}{16}=9 é elipse com raios distintos, não circular.
– B) x^2+y^2-9^2=1 x^2+y^2=82 é círculo.
– C) \tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{4}=9 é hipérbole.
– D) 9^2 - x^2 - y^2 =1 x^2+y^2=80 é círculo.
Assim IV corresponde à superfície A.

Resposta

A) paraboloide elíptico – IV
B) hiperbolóide de uma folha – III
C) paraboloide hiperbólico – I
D) hiperbolóide de duas folhas – II

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