Um besouro-rinoceronte está na borda de um disco horizontal que gira como um carrossel no sentido anti-horário. Se o besouro caminha ao longo da borda no sentido da rotação, o módulo do momento angular do sistema besouro-disco (medido em relação ao eixo de rotação) aumenta, diminui ou permanece o mesmo (com o disco ainda girando no sentido anti-horário)?

Passo 1

Beleza, o problema diz o seguinte: tem um disco girando no sentido anti-horário e um besouro que fica na borda. O besouro começa a caminhar ao longo da borda também no mesmo sentido de rotação do disco. A pergunta é: o módulo do momento angular total (disco + besouro), medido em relação ao eixo de rotação, aumenta, diminui ou fica o mesmo?
Conteúdo que a gente vai usar: conceito de momento angular , momento de inércia , velocidade angular e, principalmente, a conservação do momento angular quando não há torque externo.

Passo 2

Vamos escrever o momento angular total. Supondo que o eixo vertical não receba torque externo significativo (forças de suporte e atrito no eixo só seguram o disco, sem dar torques extras no sistema besouro+disco), temos:
Ltotal = Irm disco,omegarm disco + Irm besouro,omegarm besouro,
Aqui:
  • é o momento de inércia do disco;
  • é a velocidade angular do disco em torno do eixo;
  • se o besouro tem massa e fica a raio do eixo;
  • é a velocidade angular do besouro em relação ao eixo (que muda quando ele começa a andar).

Passo 3

Antes de o besouro andar, ele está “parado” no disco, então sua velocidade angular inicial é igual à do disco:
omegarm besouro,,inicial=omegarm disco,,inicialequivomega0
Logo
Lrm total,,inicial =Irm disco,omega0 + mR^2,omega0 =(Irm disco+mR^2),omega0
Quando o besouro caminha para frente (aumentando sua velocidade relativa ao chão), sua Lrm total,,final =Irm disco,omegarm disco,,f + mR^2,omegarm besouro,,f stackrel!=Lrm total,,inicial cresce. Para o sistema todo não receber torque externo, a única forma de “compensar” é o disco diminuir . Isso garante:

Passo 4

Como não há torque externo no eixo vertical, o momento angular total tem que se manter constante. Logo, embora internamente o besouro ganhe e o disco perca momento angular, o módulo de
Ltotal
permanece igual antes e depois.

Resposta

O módulo do momento angular do sistema besouro-disco permanece o mesmo.

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