Os momentos angulares ell(t) de uma partícula em quatro situações são (1) ell=3 t+4; (2) ell=-6 t^2; (3) ell=2; (4) ell=4 / t. Em que situação o torque resultante que age sobre a partícula é negativo e com o módulo crescente para t>0?

Passo 1

Beleza, a gente tem quatro expressões para o momento angular ℓ(t) de uma partícula e pede em qual delas o torque resultante τ é negativo e, ao mesmo tempo, o seu módulo |τ| cresce quando t>0. Isso é Mecânica (dinâmica rotacional) e vamos precisar usar que
tau(t)=dell(t)dt,

Passo 2

Antes de começar a derivar, lembra: torque é a taxa de variação do momento angular. Se τ(t)<0, o momento angular está diminuindo. E se |τ(t)| está crescendo, significa que a derivada de |τ| em relação a t é positiva.

Passo 3

Vamos calcular τ(t)=dℓ/dt em cada caso e ver o sinal e como varia o módulo:
  1. ℓ(t)=3t+4
    tau(t)=ddt(3t+4)=3,
    É positivo e constante, logo não serve.
  2. ℓ(t)=-6t^2
    tau(t)=ddt(-6t^2)=-12t,
    Para t>0, τ(t) é negativo. O módulo é
    |tau(t)|=|-12t|=12t,,
    que cresce linearmente com t. Então atende os dois requisitos.
  3. ℓ(t)=2
    tau(t)=ddt(2)=0,
    Não é negativo, descarte.
  4. ℓ(t)=\frac{4}{t}=4t^{-1}
    tau(t)=ddt(4t^-1)=-4t^-2=-4t^2,
    É negativo, mas
    |tau(t)|=4t^2,,
    que diminui quando t cresce. Então também não encaixa.

Passo 4

Só a situação (2) dá τ<0 e |τ| crescendo para t>0.

Resposta

A situação em que o torque resultante é negativo e com módulo crescente para t>0 é a (2), onde ℓ(t)=-6t².

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