QUESTÃO 1

W=\left\{p(x)=a x^{2}+b x+c / a+b=0\right. e \left.c \geqslant 0\right\} é um subespaço vetorial do espaço V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}).
\bigcirc Verdadeiro
\bigcirc Falso

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto W é um subespaço vetorial do espaço V=\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}). As informações dadas sobre W são:
W=\{\,p(x)=ax^{2}+bx+c \mid a+b=0 \text{ e } c\geqslant 0\,\}.
A tarefa é decidir se isso é verdadeiro ou falso (ou seja, se W é ou não um subespaço de V).

Passo 2

Definição e condições que precisamos checar (explicação didática): um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes:
  1. contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio nulo);
  2. é fechado sob adição: se p,q\in W então p+q\in W;
  3. é fechado sob multiplicação por escalares: se p\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha p\in W.
Na prática, costuma-se verificar rapidamente que o vetor zero está em W e depois testar fechamento por adição e por multiplicação escalar. Em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) as operações são coordenada a coordenada: para p(x)=ax^{2}+bx+c e \alpha\in\mathbb{R} temos
\alpha p(x)=(\alpha a)x^{2}+(\alpha b)x+(\alpha c),
e para soma de p e q somam-se coeficientes correspondentes.

Passo 3

Verificação do vetor zero: o polinômio zero tem a=0, b=0, c=0. Então a+b=0+0=0 e c=0\geqslant 0. Logo o polinômio zero pertence a W. Portanto W não é vazio e contém o vetor zero.

Passo 4

Verificação do fechamento por adição (ensinando o procedimento): sejam
p_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}\in W,\qquad p_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}\in W.
Pelo que está em W temos a_{1}+b_{1}=0, a_{2}+b_{2}=0, c_{1}\geqslant 0, c_{2}\geqslant 0. A soma é
p_{1}+p_{2}=(a_{1}+a_{2})x^{2}+(b_{1}+b_{2})x+(c_{1}+c_{2}).
Verificamos as condições: (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})=0+0=0, e c_{1}+c_{2}\geqslant 0 pois soma de não-negativos é não-negativa. Logo p_{1}+p_{2}\in W. Portanto W é fechado sob adição.

Passo 5

Verificação do fechamento por multiplicação escalar (parte crucial, com explicação didática): tome um polinômio genérico
p(x)=ax^{2}+bx+c\in W,
logo a+b=0 e c\geqslant 0. Para um escalar qualquer \alpha\in\mathbb{R} temos
\alpha p(x)=(\alpha a)x^{2}+(\alpha b)x+(\alpha c).
A condição a+b=0 passa a ser (\alpha a)+(\alpha b)=\alpha(a+b)=\alpha\cdot 0=0, então essa parte da condição é preservada por qualquer \alpha. Mas a outra condição exige \alpha c\geqslant 0. Aqui está o ponto importante: se c>0 e \alpha for negativo, então \alpha c<0, ou seja, \alpha p não satisfaz c\geqslant 0 e portanto não pertence a W. Assim, em geral W não é fechado por multiplicação por escalares.
Para fixar a ideia com um contraexemplo numérico bem simples (isso é típico na prova: um contraexemplo basta): escolha
p(x)=x^{2}-x+1,
que tem a=1, b=-1 (portanto a+b=0) e c=1\geqslant 0, então p\in W. Multiplicando por \alpha=-1 obtemos
-1\cdot p(x)=-x^{2}+x-1,
cujo termo constante é -1, isto é \alpha c=-1<0. Logo -p\notin W. Assim W falha o teste de fechamento por escalares (não é fechado para escalares negativos).

Passo 6

Conclusão: como W contém o zero e é fechado por adição, mas não é fechado por multiplicação por escalares (existem \alpha e p\in W tais que \alpha p\notin W), W não é subespaço vetorial de V.

Resposta

Falso

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