QUESTÃO 1
e
é um subespaço vetorial do espaço
.
Verdadeiro
Falso
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é um subespaço vetorial do espaço
. As informações dadas sobre
são:
A tarefa é decidir se isso é verdadeiro ou falso (ou seja, se
é ou não um subespaço de
).
Passo 2
Definição e condições que precisamos checar (explicação didática): um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes:
- contém o vetor zero (no nosso caso, o polinômio nulo);
- é fechado sob adição: se
então ; - é fechado sob multiplicação por escalares: se
e então .
Na prática, costuma-se verificar rapidamente que o vetor zero está em
e depois testar fechamento por adição e por multiplicação escalar. Em
as operações são coordenada a coordenada: para
e
temos
e para soma de
e
somam-se coeficientes correspondentes.
Passo 3
Verificação do vetor zero: o polinômio zero tem
,
,
. Então
e
. Logo o polinômio zero pertence a
. Portanto
não é vazio e contém o vetor zero.
Passo 4
Verificação do fechamento por adição (ensinando o procedimento): sejam
Pelo que está em
temos
,
,
,
. A soma é
Verificamos as condições:
, e
pois soma de não-negativos é não-negativa. Logo
. Portanto
é fechado sob adição.
Passo 5
Verificação do fechamento por multiplicação escalar (parte crucial, com explicação didática): tome um polinômio genérico
logo
e
. Para um escalar qualquer
temos
A condição
passa a ser
, então essa parte da condição é preservada por qualquer
. Mas a outra condição exige
. Aqui está o ponto importante: se
e
for negativo, então
, ou seja,
não satisfaz
e portanto não pertence a
. Assim, em geral
não é fechado por multiplicação por escalares.
Para fixar a ideia com um contraexemplo numérico bem simples (isso é típico na prova: um contraexemplo basta): escolha
que tem
,
(portanto
) e
, então
. Multiplicando por
obtemos
cujo termo constante é
, isto é
. Logo
. Assim
falha o teste de fechamento por escalares (não é fechado para escalares negativos).
Passo 6
Conclusão: como
contém o zero e é fechado por adição, mas não é fechado por multiplicação por escalares (existem
e
tais que
),
não é subespaço vetorial de
.
Resposta
Falso