Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A equação envolve as funções
e . - O termo do lado direito é
. - O coeficiente do termo
é (função de ), e o coeficiente de é .
Passo 2
O que é a ordem de uma EDO e como identificar aqui.
- Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a ordem da maior derivada de
que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até (segunda derivada), a ordem é . - Aplicando ao caso: a maior derivada presente é
(primeira derivada). Portanto a equação é de primeira ordem. - Observação prática: sempre procure o maior expoente nas notações de derivada (primeira, segunda, etc.).
Passo 3
O que significa uma EDO ser linear e como verificar.
- Definição (forma geral, ordem
): uma EDO é linear se e suas derivadas aparecem apenas em combinação linear, isto é, enquanto termos do tipo , onde os e são funções só de . Não são permitidos produtos entre e suas derivadas, nem funções não lineares de (por exemplo , , , etc.). - Para a primeira ordem a forma linear padrão é
Passo 4
Aplicando a definição ao exemplo dado.
- Comparando, podemos identificar
- Como
e aparecem multiplicados apenas por funções de (sem produtos entre e suas derivadas, sem potências de , etc.), a equação é linear. - Podemos também escrever na forma padrão dividindo por
(desde que ):
- Observação útil: esse nível mostra que os coeficientes não são constantes (dependem de
), então é uma equação linear de coeficientes variáveis. Além disso, como , a equação é não homogênea. Nota sobre : o coeficiente do termo de maior ordem se anula em , o que cria um ponto singular ao colocar na forma padrão — então a forma dividida só vale em intervalos que não contenham .
Passo 5
Resumo didático para a prova (passo a passo que podes usar rapidamente):
- Identifica a maior derivada presente → é
⇒ primeira ordem. - Verifica se
e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de e somadas (sem , , , etc.) ⇒ aqui sim ⇒ linear. - Se quiser pôr na forma padrão, divide por coeficiente de
(verifica domínio onde isso é permitido, aqui ). - Checa RHS: se for zero a equação é homogênea; se não (aqui
) é não homogênea.
Resposta
Primeira ordem; linear (linear de coeficientes dependentes de
); não homogênea.