Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
x^{2} y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
x^{2}y^{\prime}+y=e^{x}
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A equação envolve as funções y e y^{\prime}.
  • O termo do lado direito é e^{x}.
  • O coeficiente do termo y^{\prime} é x^{2} (função de x), e o coeficiente de y é 1.

Passo 2

O que é a ordem de uma EDO e como identificar aqui.
  • Definição: a ordem de uma equação diferencial ordinária é a ordem da maior derivada de y que aparece na equação. Por exemplo, se aparece até y^{\prime\prime} (segunda derivada), a ordem é 2.
  • Aplicando ao caso: a maior derivada presente é y^{\prime} (primeira derivada). Portanto a equação é de primeira ordem.
  • Observação prática: sempre procure o maior expoente nas notações de derivada (primeira, segunda, etc.).

Passo 3

O que significa uma EDO ser linear e como verificar.
  • Definição (forma geral, ordem n): uma EDO é linear se y e suas derivadas aparecem apenas em combinação linear, isto é, enquanto termos do tipo a_{n}(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{0}(x)y=g(x), onde os a_{k}(x) e g(x) são funções só de x. Não são permitidos produtos entre y e suas derivadas, nem funções não lineares de y (por exemplo y^{2}, \sin(y), y\cdot y', etc.).
  • Para a primeira ordem a forma linear padrão é
a_{1}(x)\,y^{\prime}+a_{0}(x)\,y=g(x).

Passo 4

Aplicando a definição ao exemplo dado.
  • Comparando, podemos identificar
a_{1}(x)=x^{2},\qquad a_{0}(x)=1,\qquad g(x)=e^{x}.
  • Como y e y^{\prime} aparecem multiplicados apenas por funções de x (sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências de y, etc.), a equação é linear.
  • Podemos também escrever na forma padrão dividindo por x^{2} (desde que x\neq 0):
y^{\prime}+\frac{1}{x^{2}}\,y = x^{-2}e^{x}\qquad (x\neq 0).
  • Observação útil: esse nível mostra que os coeficientes não são constantes (dependem de x), então é uma equação linear de coeficientes variáveis. Além disso, como g(x)=e^{x}\neq 0, a equação é não homogênea. Nota sobre x=0: o coeficiente do termo de maior ordem a_{1}(x)=x^{2} se anula em x=0, o que cria um ponto singular ao colocar na forma padrão — então a forma dividida só vale em intervalos que não contenham 0.

Passo 5

Resumo didático para a prova (passo a passo que podes usar rapidamente):
  1. Identifica a maior derivada presente → é y^{\prime} ⇒ primeira ordem.
  2. Verifica se y e suas derivadas aparecem apenas multiplicadas por funções de x e somadas (sem y^{2}, \sin(y), y\,y', etc.) ⇒ aqui sim ⇒ linear.
  3. Se quiser pôr na forma padrão, divide por coeficiente de y' (verifica domínio onde isso é permitido, aqui x\neq 0).
  4. Checa RHS: se for zero a equação é homogênea; se não (aqui e^{x}) é não homogênea.

Resposta

Primeira ordem; linear (linear de coeficientes dependentes de x); não homogênea.

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