Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
(1+y) y^{\prime \prime \prime}+x y=x

Passo 1

O enunciado fornece a equação
(1+y)\,y^{\prime\prime\prime}+x\,y = x
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y, função de x (ou seja, y=y(x)).
  • Aparecem derivadas de y até a terceira ordem: y^{\prime}, y^{\prime\prime}, y^{\prime\prime\prime}.
  • Coeficientes visíveis na equação: 1+y multiplicando y^{\prime\prime\prime} e x multiplicando y.
  • O termo do lado direito é x.
O que é pedido:
  • Determinar a ordem da equação diferencial.
  • Determinar se a equação é linear ou não.

Passo 2

Definição e identificação da ordem: por definição, a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada de y que aparece na equação. As notações mais comuns para derivadas são y^{\prime} (primeira derivada), y^{\prime\prime} (segunda), y^{\prime\prime\prime} (terceira) ou y^{(n)} para a n-ésima derivada.
Na equação dada o maior derivado presente é y^{\prime\prime\prime}. Portanto a ordem é 3.

Passo 3

O que significa ser linear: uma equação diferencial de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(x)\,y^{(n)} + a_{n-1}(x)\,y^{(n-1)} + \cdots + a_1(x)\,y^{\prime} + a_0(x)\,y = g(x),
onde os coeficientes a_k(x) e o termo independente g(x) dependem apenas da variável independente x (podem ser funções de x), e as incógnitas y, y',\dots,y^{(n)} aparecem apenas multiplicadas por essas funções de x (isto é, aparecem de forma linear — sem produtos entre y e suas derivadas, sem potências de y, senos/exp de y, etc.).
Em contraste, qualquer presença de coeficientes que dependam de y ou de termos que não sejam lineares em y e suas derivadas indica não linearidade.

Passo 4

Aplicando o critério à equação dada: escrever a equação explicitamente e observar dependência em y:
(1+y)\,y^{\prime\prime\prime}+x\,y = x.
Observe que se expandirmos o primeiro termo temos
(1+y)\,y^{\prime\prime\prime} = y^{\prime\prime\prime} + y\,y^{\prime\prime\prime}.
O termo y\,y^{\prime\prime\prime} é um produto entre y e uma derivada de y; isso é não linear (pois não corresponde a um coeficiente que dependa só de x multiplicando y^{\prime\prime\prime}).
Também é útil tentar escrever na forma padrão isolando y^{\prime\prime\prime}. Dividindo por 1+y (assumindo 1+y\neq0 onde fizer sentido) obtém‑se
y^{\prime\prime\prime} + \frac{x}{1+y}\,y = \frac{x}{1+y}.
Aqui o coeficiente de y é \dfrac{x}{1+y}, que depende de y. Assim, mesmo na forma padrão a equação tem coeficientes que dependem de y, o que confirma que a equação é não linear.

Passo 5

Resumo do raciocínio (rápido e amigável): a presença do termo y\,y^{\prime\prime\prime} (ou, equivalentemente, o coeficiente 1+y multiplicando y^{\prime\prime\prime}) quebra a condição de linearidade porque os coeficientes não são funções apenas de x. Logo a equação não é linear. A ordem já havia sido identificada como 3.

Resposta

Ordem 3
Não linear

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