Classifique as EDO’s a seguir quanto à ordem e linearidade
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para classificá‑la quanto à ordem e quanto à linearidade.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
, função de (ou seja, ). - Aparecem derivadas de
até a terceira ordem: , , . - Coeficientes visíveis na equação:
multiplicando e multiplicando . - O termo do lado direito é
.
O que é pedido:
- Determinar a ordem da equação diferencial.
- Determinar se a equação é linear ou não.
Passo 2
Definição e identificação da ordem: por definição, a ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada de
que aparece na equação. As notações mais comuns para derivadas são
(primeira derivada),
(segunda),
(terceira) ou
para a
-ésima derivada.
Na equação dada o maior derivado presente é
. Portanto a ordem é
.
Passo 3
O que significa ser linear: uma equação diferencial de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo independente
dependem apenas da variável independente
(podem ser funções de
), e as incógnitas
aparecem apenas multiplicadas por essas funções de
(isto é, aparecem de forma linear — sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências de
, senos/exp de
, etc.).
Em contraste, qualquer presença de coeficientes que dependam de
ou de termos que não sejam lineares em
e suas derivadas indica não linearidade.
Passo 4
Aplicando o critério à equação dada: escrever a equação explicitamente e observar dependência em
:
Observe que se expandirmos o primeiro termo temos
O termo
é um produto entre
e uma derivada de
; isso é não linear (pois não corresponde a um coeficiente que dependa só de
multiplicando
).
Também é útil tentar escrever na forma padrão isolando
. Dividindo por
(assumindo
onde fizer sentido) obtém‑se
Aqui o coeficiente de
é
, que depende de
. Assim, mesmo na forma padrão a equação tem coeficientes que dependem de
, o que confirma que a equação é não linear.
Passo 5
Resumo do raciocínio (rápido e amigável): a presença do termo
(ou, equivalentemente, o coeficiente
multiplicando
) quebra a condição de linearidade porque os coeficientes não são funções apenas de
. Logo a equação não é linear. A ordem já havia sido identificada como
.
Resposta
Ordem
Não linear
Não linear