(a) (Reif, adaptada) Suponha que os erros tipográficos cometidos por um escritor ocorram de forma completamente aleatória. Suponha que um livro de 500 páginas contenha 250 erros deste tipo.
i. Calcule a probabilidade de que uma página não exiba nenhum erro tipográfico.
ii. Calcule a probabilidade de que uma página tenha pelo menos três erros tipográficos.
(b) Na Copa do Mundo de 2014, foram marcados 171 gols em 64 partidas. Usando essa informação, estime a probabilidade de serem marcados exatamente 8 gols em uma única partida.

Passo 1

Beleza, o enunciado fala de duas situações distintas, mas ambas usam um mesmo truque de probabilidade de “acontecimentos raros” que caem bem na distribuição de Poisson.
Conteúdo: distribuição de Poisson.
O que vamos precisar:
  • Saber que, quando erros ou gols são “aleatórios e raros”, a Poisson é boa aproximação.
  • Fórmula da Poisson: P(X=k)=lambda^k e^-lambdak!
  • Identificar o valor de (a média de eventos por unidade: página ou partida).
A partir do próximo passo partimos para os cálculos.

Passo 2

Parte (a,i): “probabilidade de nenhuma página ter erro”
  1. A média de erros por página é P(X=0)=(0,5)^0 e^-0.50!=e^-0.5á.
  2. Com a Poisson:

Passo 3

Parte (a,ii): “probabilidade de ter pelo menos 3 erros”
  1. Queremos .
  2. Calcular os termos:
  3. Somamos e fazemos isso.

Passo 4

Parte (b): “probabilidade de exatamente 8 gols numa partida”
  1. Aqui P(X=8)=lambda^8 e^-lambda8!com lambdaapprox2,6719 média de gols por partida .
  2. Usamos Poisson:

Resposta

  • (a,i) .
  • (a,ii) .
  • (b) .

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