Se beta^prime é obtida de beta, a base canônica de R^2, pela rotação por um ângulo pi4, determine [I]beta^prime^beta e [I]beta^beta^prime.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde a base canônica de , chamada , foi girada por um ângulo de para formar uma nova base, . O que a gente precisa encontrar são as matrizes de mudança de base e . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, matrizes de rotação e como mudar de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz de rotação que gira a base R = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta em um ângulo de cos pi4 = raiz22 e sin pi4 = raiz22 . A matriz de rotação geral em duas dimensões é dada por:
R = raiz22 1 & -1 1 & 1
onde é o ângulo de rotação. No nosso caso, , então:
Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:

Passo 3

Agora, sabemos que a matriz de mudança de base [I]beta'^beta = raiz22 1 & -1 1 & 1 representa como transformar coordenadas da base para a base . Nesse caso, como foi obtida a partir de pela rotação, a própria matriz de rotação é a matriz de mudança de base que procuramos. Então:

Passo 4

Para encontrar a matriz de mudança de base [I]beta^beta' = R^T = raiz22 1 & 1 -1 & 1 , que vai de para , precisamos calcular a inversa da matriz . Como matrizes de rotação são ortogonais, a inversa de é igual à sua transposta . Então:

Resposta

[I]beta'^beta = raiz22 1 & -1 1 & 1 e [I]beta^beta' = raiz22 1 & 1 -1 & 1

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