Se
é obtida de
, a base canônica de
, pela rotação por um ângulo
, determine
e
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de álgebra linear onde a base canônica de
, chamada
, foi girada por um ângulo de
para formar uma nova base,
. O que a gente precisa encontrar são as matrizes de mudança de base
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, matrizes de rotação e como mudar de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz de rotação que gira a base
em um ângulo de
. A matriz de rotação geral em duas dimensões é dada por:
onde
é o ângulo de rotação. No nosso caso,
, então:
Substituindo esses valores na matriz de rotação, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que a matriz de mudança de base
representa como transformar coordenadas da base
para a base
. Nesse caso, como
foi obtida a partir de
pela rotação, a própria matriz de rotação
é a matriz de mudança de base que procuramos. Então:
Passo 4
Para encontrar a matriz de mudança de base
, que vai de
para
, precisamos calcular a inversa da matriz
. Como matrizes de rotação são ortogonais, a inversa de
é igual à sua transposta
. Então: