Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma: x^2+y^2-6 y=0.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação de circunferência juntos. O enunciado é: . A gente vai precisar usar a teoria de completar o quadrado para transformar essa equação na forma padrão da circunferência, que nos ajuda a identificar o centro e o raio. Depois, vamos escrever as equações paramétricas dessa circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. A equação é:
x^2 + y^2 - 6y = 0
Vamos agrupar os termos de x^2 + (y^2 - 6y) = 0 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-62)^2 = 9 . Lembre-se que para completar o quadrado na forma x^2 + (y^2 - 6y + 9 - 9) = 0 , a gente adiciona e subtrai x^2 + (y - 3)^2 - 9 = 0 .
Aqui, , então:
Vamos adicionar e subtrair 9 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos isolar a expressão da circunferência:
x^2 + (y - 3)^2 = 9
Essa é a forma padrão da equação da circunferência, que é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
onde é o centro e é o raio.

Passo 5

Comparando as duas equações, vemos que:
h = 0 (já que não há termo em ( x ))
k = 3
Então, o centro da circunferência é r^2 = 9 Rightarrow r = 3 e o raio é 3.

Passo 6

Agora, vamos escrever as equações paramétricas da circunferência. As fórmulas paramétricas gerais para uma circunferência são:
x = h + r cos(t)
y = k + r sin(t)
Onde é o parâmetro (ângulo).

Passo 7

Substituindo os valores que encontramos:
h = 0, k = 3, r = 3
As equações paramétricas ficam:
x = 0 + 3 cos(t) Rightarrow x = 3cos(t)
y = 3 + 3 sin(t) Rightarrow y = 3sin(t) + 3

Resposta

As equações paramétricas da circunferência são:
x = 3cos(t)
y = 3sin(t) + 3
O centro da circunferência é e o raio é 3.

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