Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma:
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação de circunferência juntos. O enunciado é:
. A gente vai precisar usar a teoria de completar o quadrado para transformar essa equação na forma padrão da circunferência, que nos ajuda a identificar o centro e o raio. Depois, vamos escrever as equações paramétricas dessa circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o processo de completar o quadrado. A equação é:
Vamos agrupar os termos de
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Lembre-se que para completar o quadrado na forma
, a gente adiciona e subtrai
.
Aqui,
, então:
Vamos adicionar e subtrair 9 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos isolar a expressão da circunferência:
Essa é a forma padrão da equação da circunferência, que é:
onde
é o centro e
é o raio.
Passo 5
Comparando as duas equações, vemos que:
Então, o centro da circunferência é
e o raio é 3.
Passo 6
Agora, vamos escrever as equações paramétricas da circunferência. As fórmulas paramétricas gerais para uma circunferência são:
Onde
é o parâmetro (ângulo).
Passo 7
Substituindo os valores que encontramos:
As equações paramétricas ficam:
Resposta
As equações paramétricas da circunferência são:
O centro da circunferência é
e o raio é 3.