Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma: x^2+y^2-2 pi x+2 pi y+10+pi^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever as equações paramétricas de uma circunferência dada pela equação e determinar o centro e o raio dessa circunferência. Para resolver isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que nos ajuda a colocar a equação da circunferência na forma padrão. Assim, conseguiremos identificar facilmente o centro e o raio.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de x^2 - 2pi x + y^2 + 2pi y = -10 - pi^2 e :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de (-2pi2)^2 = pi^2 e (2pi2)^2 = pi^2 .
Para x^2 - 2pi x + pi^2 + y^2 + 2pi y + pi^2 = -10 - pi^2 + pi^2 + pi^2 :
  • Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
  • Adicionamos e subtraímos na equação.
Para :
  • Pegamos o coeficiente de , que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
  • Adicionamos e subtraímos na equação.
Então, a equação fica:

Passo 4

Simplificando os termos, temos:
(x - pi)^2 + (y + pi)^2 = -10 + pi^2
Aqui, e representam a forma padrão da equação da circunferência , onde é o centro e é o raio.

Passo 5

Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência:
  • Centro: pi^2 > 10 Rightarrow pi approx 3.1416 Rightarrow pi^2 approx 9.8696
  • Raio:
Como o raio deve ser um número real positivo, precisamos garantir que :
Percebemos que , o que implicaria que o lado direito seria negativo, o que não é possível para uma circunferência real. Portanto, a equação dada não representa uma circunferência real.

Resposta

A equação não representa uma circunferência real, pois o cálculo do raio resulta em um número imaginário.

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