Escreva as equações paramétricas das seguintes circunferências e determine o centro e o raio de cada uma:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para escrever as equações paramétricas de uma circunferência dada pela equação
e determinar o centro e o raio dessa circunferência. Para resolver isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado, que nos ajuda a colocar a equação da circunferência na forma padrão. Assim, conseguiremos identificar facilmente o centro e o raio.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e
.
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
- Adicionamos e subtraímos
na equação.
Para
:
- Pegamos o coeficiente de
, que é , dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
- Adicionamos e subtraímos
na equação.
Então, a equação fica:
Passo 4
Simplificando os termos, temos:
Aqui,
e
representam a forma padrão da equação da circunferência
, onde
é o centro e
é o raio.
Passo 5
Agora, identificamos o centro e o raio da circunferência:
- Centro:
- Raio:
Como o raio deve ser um número real positivo, precisamos garantir que
:
Percebemos que
, o que implicaria que o lado direito seria negativo, o que não é possível para uma circunferência real. Portanto, a equação dada não representa uma circunferência real.
Resposta
A equação
não representa uma circunferência real, pois o cálculo do raio resulta em um número imaginário.