Sejam beta1=(1,0),(0,2) e beta2=(-1,0),(1,1) bases ordenadas de R^2. Determine [I]beta1^beta2 e [I]beta2^beta1. Quais são as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases beta1 e beta2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases beta1 e beta2 de R^2, além de encontrar as coordenadas do vetor v=(3,-2) nessas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como expressar um vetor em diferentes bases usando matrizes de transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases fornecidas:
  • Base beta1 = (1,0), (0,2)
  • Base beta2 = (-1,0), (1,1)
Essas bases são formadas por vetores que são os novos “eixos” do nosso espaço. A ideia é encontrar como passar das coordenadas de uma base para a outra.

Passo 3

Para encontrar a matriz de mudança de base [I]beta1^beta2, precisamos expressar cada vetor da base beta1 em termos da base beta2.
Vamos chamar os vetores de beta1 de b1 = (1,0) e b2 = (0,2), e os vetores de beta2 de c1 = (-1,0) e c2 = (1,1).

Passo 4

Expressamos b1 como uma combinação linear de c1 e c2:
b1 = ac1 + bc2
Isso resulta no sistema:
1 = -a + b 0 = 0a + b
Da segunda equação, b = 0. Substituindo na primeira, 1 = -a, então a = -1. Logo:
b1 = -1c1 + 0c2

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo para b2:
b2 = ac1 + bc2
Isso dá:
0 = -a + b 2 = 0a + b
Da segunda equação, b = 2. Substituindo na primeira, 0 = -a + 2, então a = 2. Portanto:
b2 = 2c1 + 2c2

Passo 6

Agora, colocamos esses coeficientes na matriz de mudança de base [I]beta1^beta2:
[I]beta1^beta2 = -1 & 2 0 & 2

Passo 7

Para encontrar a matriz inversa, que será [I]beta2^beta1, calculamos a inversa de [I]beta1^beta2. A inversa de uma matriz $ a & b c & d $ é:
1ad - bc d & -b -c & a
No nosso caso:
ad - bc = (-1)(2) - (2)(0) = -2 [I]beta2^beta1 = 1-2 2 & -2 0 & -1 = -1 & 1 0 & 0.5

Passo 8

Agora, para encontrar as coordenadas do vetor v=(3,-2) em relação às bases beta1 e beta2, vamos usar as matrizes de mudança de base que encontramos.

Passo 9

Primeiro, as coordenadas de v em beta1. Chamamos essas coordenadas de vbeta1 = x y . Então:
v = xb1 + yb2 = x(1,0) + y(0,2) = (x, 2y)
Igualando aos componentes de v:
x = 3 2y = -2 Rightarrow y = -1
Portanto:
vbeta1 = 3 -1

Passo 10

Agora, as coordenadas de v em beta2. Usamos a matriz [I]beta2^beta1:
vbeta2 = [I]beta2^beta1 cdot v = -1 & 1 0 & 0.5 3 -2 = -1 cdot 3 + 1 cdot (-2) 0 cdot 3 + 0.5 cdot (-2) = -5 -1

Resposta

A matriz de mudança de base de beta1 para beta2 é:
[I]beta1^beta2 = -1 & 2 0 & 2
A matriz de mudança de base de beta2 para beta1 é:
[I]beta2^beta1 = -1 & 1 0 & 0.5
As coordenadas do vetor v = (3, -2) são:
  • Em relação a beta1:
vbeta1 = 3 -1
  • Em relação a beta2:
vbeta2 = -5 -1

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