Sejam
e
bases ordenadas de
. Determine
e
. Quais são as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos as matrizes de mudança de base entre duas bases
e
de
, além de encontrar as coordenadas do vetor
nessas bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de uma base para outra e como expressar um vetor em diferentes bases usando matrizes de transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as bases fornecidas:
- Base
- Base
Essas bases são formadas por vetores que são os novos “eixos” do nosso espaço. A ideia é encontrar como passar das coordenadas de uma base para a outra.
Passo 3
Para encontrar a matriz de mudança de base
, precisamos expressar cada vetor da base
em termos da base
.
Vamos chamar os vetores de
de
e
, e os vetores de
de
e
.
Passo 4
Expressamos
como uma combinação linear de
e
:
Isso resulta no sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
. Logo:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo para
:
Isso dá:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira,
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora, colocamos esses coeficientes na matriz de mudança de base
:
Passo 7
Para encontrar a matriz inversa, que será
, calculamos a inversa de
. A inversa de uma matriz $
$ é:
No nosso caso:
Passo 8
Agora, para encontrar as coordenadas do vetor
em relação às bases
e
, vamos usar as matrizes de mudança de base que encontramos.
Passo 9
Primeiro, as coordenadas de
em
. Chamamos essas coordenadas de
. Então:
Igualando aos componentes de
:
Portanto:
Passo 10
Agora, as coordenadas de
em
. Usamos a matriz
:
Resposta
A matriz de mudança de base de
para
é:
A matriz de mudança de base de
para
é:
As coordenadas do vetor
são:
- Em relação a
:
- Em relação a
: