Se beta=u, v, w é um conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V, prove que o conjunto 2 u-v+w, u+2 v-3 w, 3 u-4 v+5 w é L.D.

Passo 1

O enunciado diz que beta = vec u,vec v,vec w é L.I. em V e nos pede para mostrar que
S=,2vec u-vec v+vec w,;vec u+2vec v-3vec w,;3vec u-4vec v+5vec w
é L.D. Para isso, vamos usar a definição de dependência linear: devemos encontrar escalares não todos nulos que façam uma combinação linear dos vetores de S dar o vetor zero.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica igual a zero:
al(2vec u-vec v+vec wr) +bl(vec u+2vec v-3vec wr) +cl(3vec u-4vec v+5vec wr) =vec 0
Como vec u,vec v,vec w é L.I., as componentes em vec u,vec v,vec w devem separar-se em três equações escalares:
2a + b + 3c = 0, -,a + 2b - 4c = 0, ;a - 3b + 5c = 0

Passo 3

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos
b = -2a - 3c
Substituindo na segunda obtém-se
-,a + 2(-2a-3c)-4c = 0 ;Longrightarrow;-,a -4a -6c -4c = 0 ;Longrightarrow;5a +10c = 0 ;Longrightarrow;a = -2c
Logo
b = -2(-2c)-3c = 4c-3c = c
E substituindo em a - 3b +5c confirma-se que a terceira equação fica 0=0, sem impor nova condição.

Passo 4

Como podemos escolher cneq0 e obter (a,b,c)neq(0,0,0), segue que há combinação não trivial que anula os vetores de S. Por exemplo, tomando c=1
a=-2, b=1, c=1,
e então
-2l(2vec u-vec v+vec wr) +1l(vec u+2vec v-3vec wr) +1l(3vec u-4vec v+5vec wr) =vec0
Isso prova que S é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto 2vec u-vec v+vec w,;vec u+2vec v-3vec w,;3vec u-4vec v+5vec w é L.D. porque existe combinação não trivial
-2(2vec u-vec v+vec w)+(vec u+2vec v-3vec w)+(3vec u-4vec v+5vec w)=vec0

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