Escreva a matriz A=(cc3 & 1 1 & -1) como uma combinação linear das
matrizes
M=(ll 1 & 1 1 & 0 ), N=(ll 0 & 0 1 & 1 ) e P=(cc 0 & 2 0 & -1 )

Passo 1

O enunciado pede para escrever a matriz
A = 3 & 1 [0.3em] 1 & -1
como combinação linear das matrizes
M = 1 & 1 [0.3em] 1 & 0, N = 0 & 0 [0.3em] 1 & 1, P = 0 & 2 [0.3em] 0 & -1
O conteúdo aqui é espaço vetorial de matrizes e vamos precisar resolver um sistema linear para encontrar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha M + beta N + gamma P ;=; A ]

Passo 2

Escrevemos a combinação linear genérica:
alpha M + beta N + gamma P = alpha 1 & 1 [0.3em] 1 & 0 + beta 0 & 0 [0.3em] 1 & 1 + gamma 0 & 2 [0.3em] 0 & -1
Somando termo a termo, obtemos
alpha & alpha + 2gamma [0.3em] alpha + beta & beta - gamma

Passo 3

Igualamos cada entrada à correspondente em A:
alpha = 3,[0.3em] alpha + 2gamma = 1,[0.3em] alpha + beta = 1,[0.3em] beta - gamma = -1 ]

Passo 4

Resolvendo em ordem:
  • Da primeira equação alpha = 3.
  • Na segunda: 3 + 2gamma = 1 leva a 2gamma = -2, logo gamma = -1.
  • Na terceira: 3 + beta = 1 leva a beta = -2.
  • A quarta confere: -2 -(-1) = -1, ok.

Passo 5

Concluímos que
alpha = 3, beta = -2, gamma = -1
Logo
A = 3M ;-; 2N ;-; P

Resposta

A = 3M - 2N - P

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