Considere
como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real
de
em
. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções
e
, vistas como vetores em
, são linearmente independentes (LI). Vamos usar a definição de independência linear em um espaço de funções: verificar que, se uma combinação linear dessas funções for a função zero em todo o intervalo, então os coeficientes dessa combinação devem ser zero.
Passo 2
Definição de independência linear em
: dizemos que
e
são LI se a única solução do sistema
é
e
.
Passo 3
Suponha que existam constantes
tais que
Queremos mostrar que
.
Passo 4
Avalie essa igualdade em
:
Chame essa equação de (1).
Passo 5
Avalie agora em
:
Chame esta de equação (2).
Passo 6
Resolva o sistema formado por (1) e (2):
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
e daí
.
Passo 7
Como a única solução é
e
, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule
e
. Logo, elas são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes em
.