Considere V[a, b] como sendo o espaço de todas as funções reais de uma variável real t de [a, b] em R. Mostrar que os seguintes pares de vetores a seguir são LI :
cos t, cos 3 t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções cos t e cos 3t, vistas como vetores em V[a,b], são linearmente independentes (LI). Vamos usar a definição de independência linear em um espaço de funções: verificar que, se uma combinação linear dessas funções for a função zero em todo o intervalo, então os coeficientes dessa combinação devem ser zero.

Passo 2

Definição de independência linear em V[a,b]: dizemos que cos t e cos 3t são LI se a única solução do sistema
alpha,cos t + beta,cos 3t = 0 para todo tin[a,b]
é alpha=0 e beta=0.

Passo 3

Suponha que existam constantes alpha,betainR tais que
alpha,cos t + beta,cos 3t = 0 para todo tin[a,b]
Queremos mostrar que alpha=beta=0.

Passo 4

Avalie essa igualdade em t=0:
alpha,cos(0) + beta,cos(3cdot 0) = 0 Longrightarrow alphacdot 1 + betacdot 1 = 0 Longrightarrow alpha + beta = 0
Chame essa equação de (1).

Passo 5

Avalie agora em t = pi/3:
alpha,cosl(tfracpi3r) + beta,cosl(pir) = 0 Longrightarrow alphacdot12 + betacdot(-1) = 0 Longrightarrow alpha2 - beta = 0 Longrightarrow alpha = 2beta
Chame esta de equação (2).

Passo 6

Resolva o sistema formado por (1) e (2):
alpha + beta = 0, alpha - 2beta = 0
Da segunda equação vem alpha=2beta. Substituindo na primeira:
2beta + beta = 0 ;Longrightarrow; 3beta = 0 ;Longrightarrow; beta = 0,
e daí alpha=2beta=0.

Passo 7

Como a única solução é alpha=0 e beta=0, concluímos que não existe combinação linear não trivial que anule cos t e cos 3t. Logo, elas são linearmente independentes.

Resposta

As funções cos t e cos 3t são linearmente independentes em V[a,b].

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