Se beta=u, v, w é um conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial V, prove que o conjunto u-v, u+w, 2 u-v+2 w também é L.I.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto beta=u,v,w de vetores linearmente independentes em V e pede para provar que
gamma=u-v,,u+w,,2u-v+2w
também é LI. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá 0 é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a(u-v) + b(u+w) + cl(2u-v+2wr) = 0
Nosso objetivo é mostrar que a=b=c=0.

Passo 3

Expandindo a combinação e agrupando os termos em u,v,w obtemos
au - av + bu + bw + 2cu - cv + 2cw = (a + b + 2c),u + (-a - c),v + (b + 2c),w

Passo 4

Como essa soma é igual a 0 e u,v,w é LI, os coeficientes devem ser zero. Logo, formamos o sistema
a + b + 2c = 0
-,a - c = 0
b + 2c = 0

Passo 5

Resolvendo o sistema: da segunda equação segue
a = -,c,
da terceira segue
b = -,2c,
e substituindo na primeira vem
(-c) + (-2c) + 2c = -c = 0 ;Longrightarrow; c=0
Então a=-c=0 e b=-2c=0.

Passo 6

Como a única solução é a=b=c=0, a combinação linear triv ial é a única que anula o vetor, logo gamma é linearmente independente.

Resposta

O conjunto u-v,,u+w,,2u-v+2w é linearmente independente.

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