Se
é um conjunto de vetores L.I. de um espaço vetorial
, prove que o conjunto
também é L.I.
Passo 1
O enunciado dá um conjunto
de vetores linearmente independentes em
e pede para provar que
também é LI. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá é a combinação trivial (todos os coeficientes nulos).
também é LI. Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto de vetores é LI se a única combinação linear que dá
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 3
Expandindo a combinação e agrupando os termos em
obtemos
Passo 4
Como essa soma é igual a
e
é LI, os coeficientes devem ser zero. Logo, formamos o sistema
Passo 5
Resolvendo o sistema: da segunda equação segue
da terceira segue
e substituindo na primeira vem
Então
e
.
Passo 6
Como a única solução é
, a combinação linear triv ial é a única que anula o vetor, logo
é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente.