Betelguese é a estrela gigante vermelha mais próxima da Terra. Tem uma luminosidade (potência) de 4,49 \times 10^{31} W e emite radiação com pico de comprimento de onda em 850 nm . (a) Qual é a temperatura, em Kelvin, dessa estrela? (b) Calcule o raio de Betelgeuse r_{B} se o raio do Sol é 6,95 \times 10^{8} \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá que Betelgeuse é aproximada como um corpo negro com luminosidade L=4,49\times10^{31}\,\mathrm{W} e pico de emissão em \lambda_{\max}=850\,\mathrm{nm}. Para (a) vamos usar a lei de Deslocamento de Wien, que relaciona \lambda_{\max} e a temperatura T por
\lambda_{\max}\,T = b,
onde b=2,898\times10^{-3}\,\mathrm{m\cdot K}.
Para (b) vamos usar a lei de Stefan–Boltzmann, que diz
L = 4\pi R_B^2\,\sigma\,T^4,
com \sigma=5,67\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}, e daí isolar R_B.

Passo 2

Aplicando Wien, convertemos \lambda_{\max} para metros:
\lambda_{\max}=850\,\mathrm{nm}=850\times10^{-9}\,\mathrm{m}.
Logo
T = \frac{b}{\lambda_{\max}} = \frac{2,898\times10^{-3}}{850\times10^{-9}} \approx3,41\times10^{3}\,\mathrm{K}.

Passo 3

Da lei de Stefan–Boltzmann, isolamos o raio R_B:
R_B = \sqrt{\frac{L}{4\pi\,\sigma\,T^4}}.

Passo 4

Substituindo L=4,49\times10^{31}\,\mathrm{W}, \sigma=5,67\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} e T=3,41\times10^{3}\,\mathrm{K}:
T^4\approx(3,41\times10^{3})^4\approx1,35\times10^{14},
4\pi\,\sigma\,T^4\approx4\pi\times5,67\times10^{-8}\times1,35\times10^{14} \approx9,63\times10^{7}\,\mathrm{W/m^2},
R_B \approx \sqrt{\frac{4,49\times10^{31}}{9,63\times10^{7}}} \approx6,83\times10^{11}\,\mathrm{m}.
Comparando com o raio solar R_{\odot}=6,95\times10^{8}\,\mathrm{m}:
\frac{R_B}{R_{\odot}} \approx\frac{6,83\times10^{11}}{6,95\times10^{8}} \approx982.

Resposta

(a) T\approx3,41\times10^{3}\,\mathrm{K}.
(b) R_B\approx6,83\times10^{11}\,\mathrm{m}\approx982\,R_{\odot}.

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