A expressão para a radiação do corpo negro para cada faixa do espectro eletromagnético caracterizada pela frequência \nu, obtida por Planck em 1925, é dada por
R(\nu, T)=\frac{2 h \nu^{3}}{c^{2}} \frac{1}{\exp \left(\frac{h \nu}{k_{B} T}\right)-1}
Mostre a expressão em função do comprimento de onda \lambda é dada por
R(\lambda, T)=\frac{2 h c^{2}}{\lambda^{5}} \frac{1}{\exp \left(\frac{h c}{\lambda k_{B} T}\right)-1} .

Passo 1

O enunciado nos dá a lei de Planck na forma espectral por frequência:
R(\nu,T)=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{h\nu}{k_{B}T}\bigr)-1}
e pede para mostrar que, ao trocarmos a variável para comprimento de onda \lambda, obtemos
R(\lambda,T)=\frac{2h c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_{B}T}\bigr)-1}.
O conteúdo principal é a mudança de variável em densidades espectrais, usando a relação
R(\nu,T)\,d\nu \;=\; R(\lambda,T)\,d\lambda.

Passo 2

Expressamos a frequência em função do comprimento de onda:
\nu = \frac{c}{\lambda}.
Diferenciando em relação a \lambda, temos
\frac{d\nu}{d\lambda} = -\,\frac{c}{\lambda^{2}},
logo, em valor absoluto,
\biggl|\frac{d\nu}{d\lambda}\biggr| = \frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 3

Pela conservação da energia em cada faixa espectral,
R(\nu,T)\,d\nu = R(\lambda,T)\,d\lambda
implica
R(\lambda,T) = R(\nu,T)\,\biggl|\frac{d\nu}{d\lambda}\biggr| = R(\nu,T)\;\frac{c}{\lambda^{2}}.

Passo 4

Substituímos R(\nu,T) e \bigl|d\nu/d\lambda\bigr|:
R(\lambda,T) = \frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{h\nu}{k_{B}T}\bigr)-1} \;\times\;\frac{c}{\lambda^{2}}.
Como \nu = c/\lambda, temos \nu^{3} = c^{3}/\lambda^{3}. Então
\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\;\frac{c}{\lambda^{2}} = 2h\;\frac{c^{3}}{\lambda^{3}}\;\frac{1}{c^{2}}\;\frac{c}{\lambda^{2}} = \frac{2h\,c^{2}}{\lambda^{5}}.

Passo 5

Também no exponencial substituímos \nu = c/\lambda:
\exp\!\Bigl(\tfrac{h\nu}{k_{B}T}\Bigr) = \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda\,k_{B}T}\Bigr).
Portanto
R(\lambda,T) = \frac{2h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{\lambda\,k_{B}T}\bigr)-1},
que é exatamente a forma pedida.

Resposta

R(\lambda,T)=\frac{2h\,c^{2}}{\lambda^{5}}\;\frac{1}{\exp\!\bigl(\tfrac{hc}{\lambda\,k_{B}T}\bigr)-1}.

Exercícios relacionados