Qual é a relação entre a frequência máxima \nu_{\text {max }} que irradia um corpo negro e sua temperatura T, em termos de constantes fundamentais? Obtenha a lei de Wien para a frequência a partir da distribuição de Planck. Use o fato de que a equação \frac{x e^{x}}{e^{x}-1}=3 tem como solução numérica x=2.813.

Passo 1

O enunciado pede para obter a lei de Wien na forma de frequência, ou seja, achar a relação entre a frequência \nu_{\text{max}} que maximiza a irradiância de um corpo negro e sua temperatura T. Vamos usar a distribuição de Planck para a densidade espectral em função de \nu e procurar o máximo fazendo \frac{dB_\nu}{d\nu}=0.

Passo 2

A distribuição de Planck para a irradiância espectral (por unidade de frequência) é
B_\nu(T)\;=\;\frac{2h\nu^3}{c^2}\;\frac{1}{e^{\,h\nu/(k_B T)}-1}
onde h é a constante de Planck, k_B a de Boltzmann e c a velocidade da luz.

Passo 3

Definimos a variável adimensional
x \;=\;\frac{h\nu}{k_B T}
e escrevemos B_\nu (à parte de constantes) como função de x:
B_\nu\propto \frac{\nu^3}{e^{h\nu/(k_B T)}-1} \;\longrightarrow\; f(x)\;=\;\frac{x^3}{e^x-1}\,.

Passo 4

Para encontrar o máximo, impomos
\frac{df}{dx}=0.
Calculando
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{x^3}{e^x-1}\Bigr) =\frac{3x^2(e^x-1)-x^3e^x}{(e^x-1)^2} =0 \;\Longrightarrow\; 3\,(e^x-1)=x\,e^x \;\Longrightarrow\; \frac{x\,e^x}{e^x-1}=3.
Pelo enunciado, a solução numérica dessa equação é x=2{,}813.

Passo 5

Voltando à frequência, de x=\tfrac{h\nu_{\text{max}}}{k_B T}=2{,}813 segue
\nu_{\text{max}} =\frac{k_B T}{h}\;x =\;2{,}813\,\frac{k_B}{h}\;T.

Resposta

\nu_{\text{max}} =2{,}813\,\frac{k_B}{h}\;T.

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