Pede-se:
(a) Calcule o valor aproximado para a média amostral?
(b) Indique a classe de valores que contem a mediana amostral!
(c) Calcule o valor aproximado para o erro padrão da média!
(d) Se subtrairmos 50 de cada valor original, como seria a nova tabela de distribuição das frequências?
(e) Qual seria a média aproximada dos novos valores?
(f) Qual seria a variância aproximada dos novos valores?
(g) Sabe-se que, para os valores originais, a média amostral é igual a 64,24167 , e a variância amostral é 253,6385 . Obtenha a soma dos quadrados dos valores originais. Obs: Os valores podem não ser exatos devido a pequenas aproximações realizadas.
(h) A partir da tabela dada no problema, construa o histograma e a ogiva percentual.
(i) Qual o gráfico do item (h) deve ser usado para obter o valor aproximado da mediana? Obtenha esse valor.
Considere a distribuição das notas dos estudantes de EST 106 de um determinado período anterior:
Classes f_{i} P_{m i}
[0,20) 2 10
[20,40) 4 30
[40,60) 14 50
[60,80) 49 70
[80,100] 9 90

Passo 1

O que o enunciado pede (lista de perguntas):
  • (a) Calcular um valor aproximado para a média amostral.
  • (b) Indicar a classe que contém a mediana amostral.
  • (c) Calcular o erro padrão da média (estimado a partir dos dados agrupados).
  • (d) Descrever a nova tabela de frequência se subtrairmos 50 de cada valor.
  • (e) Calcular a média aproximada dos novos valores.
  • (f) Calcular a variância aproximada dos novos valores.
  • (g) Usando que \bar{x}=64,24167 e s^2=253,6385 para os valores originais, obter a soma dos quadrados dos valores originais \sum x_i^2.
  • (h) Construir os dados para o histograma e para a ogiva percentual a partir da tabela.
  • (i) Dizer qual gráfico do item (h) usar para obter a mediana e obter essa mediana aproximada.
Informações dadas (retiradas da tabela enviada):
  • Classes e marcas de classe (coluna P_{mi} é a marca de classe = ponto médio):
    • Classe [0,20), f_1=2, marca x_1=10.
    • Classe [20,40), f_2=4, marca x_2=30.
    • Classe [40,60), f_3=14, marca x_3=50.
    • Classe [60,80), f_4=49, marca x_4=70.
    • Classe [80,100], f_5=9, marca x_5=90.
  • Tamanho amostral total: n=\sum_{i=1}^5 f_i = 2+4+14+49+9=78.
  • Largura das classes (todas iguais): h=20 (cada classe cobre 20 pontos).

Passo 2

(a) Cálculo da média amostral aproximada a partir dos dados agrupados.
Raciocínio e fórmula: para dados agrupados, usa-se a média aproximada
\bar{x} \approx \frac{\sum_{i=1}^k f_i x_i}{n},
onde f_i é a frequência da i-ésima classe, x_i é a marca de classe (ponto médio), e n é o total de observações.
Calculemos \sum f_i x_i:
\begin{aligned} \sum f_i x_i &= 2\cdot10 + 4\cdot30 + 14\cdot50 + 49\cdot70 + 9\cdot90 \\\ &= 20 + 120 + 700 + 3430 + 810 = 5080. \end{aligned}
Portanto
\bar{x} \approx \frac{5080}{78} \approx 65,128205\ldots
Arredondando de forma razoável, \bar{x}\approx 65,12821.
Explicação curta: a média dos dados agrupados é a média ponderada das marcas das classes, ponderadas pelas frequências. É uma aproximação porque cada valor da classe é substituído pela marca da classe.

Passo 3

(b) Determinar a classe que contém a mediana amostral.
Raciocínio: a mediana é o valor que divide a amostra em duas metades; para n observações ordenadas, a mediana corresponde à posição n/2 (no caso de interpolação em dados agrupados usamos n/2). Calculamos as frequências acumuladas e vemos em qual classe o n/2 cai.
Frequências acumuladas:
\begin{aligned} F_1 &= 2,\\\ F_2 &= 2+4=6,\\\ F_3 &= 6+14=20,\\\ F_4 &= 20+49=69,\\\ F_5 &= 69+9=78. \end{aligned}
Metade da amostra:
\frac{n}{2}=\frac{78}{2}=39.
Observando as acumulações, 39 está entre F_3=20 e F_4=69. Logo a mediana pertence à classe [60,80).
Resposta: a classe da mediana é [60,80).

Passo 4

(c) Cálculo do erro padrão da média (estimado a partir dos dados agrupados).
Passo a passo e fórmulas:
  1. Primeiro calculamos \sum f_i x_i^2 (necessário para a variância agrupada):
\sum f_i x_i^2 = 2\cdot10^2 + 4\cdot30^2 + 14\cdot50^2 + 49\cdot70^2 + 9\cdot90^2.
Calculemos:
\begin{aligned} 2\cdot10^2 &= 2\cdot100 = 200,\\\\ 4\cdot30^2 &= 4\cdot900 = 3600,\\\\ 14\cdot50^2 &= 14\cdot2500 = 35000,\\\\ 49\cdot70^2 &= 49\cdot4900 = 240100,\\\\ 9\cdot90^2 &= 9\cdot8100 = 72900. \end{aligned}
Somando:
\sum f_i x_i^2 = 200 + 3600 + 35000 + 240100 + 72900 = 351800.
  1. Fórmula da variância amostral aproximada (dados agrupados), usando correção de Bessel:
s^2 \approx \frac{\sum_{i} f_i x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1},
onde \bar{x} é a média calculada no passo 2.
Já temos \sum f_i x_i^2=351800, n=78 e \bar{x}\approx 65,128205. Calculamos n\bar{x}^2:
\bar{x}^2 \approx 65,128205^2 \approx 4241,68310\quad\Rightarrow\quad n\bar{x}^2 \approx 78\cdot4241,68310 \approx 330851,28185.
Então o numerador:
\sum f_i x_i^2 - n\bar{x}^2 \approx 351800 - 330851,28185 \approx 20948,71815.
Logo
s^2 \approx \frac{20948,71815}{77} \approx 272,040475.
Desvio padrão aproximado:
s \approx \sqrt{272,040475}\approx 16,49213.
  1. Erro padrão da média (standard error, SE) é
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}}.
Com s\approx 16,49213 e n=78 (portanto \sqrt{n}\approx 8,83176):
\text{SE} \approx \frac{16,49213}{8,83176}\approx 1,86777.
Interpretação rápida: o erro padrão diz quão incerta é a estimativa da média; aqui, pela aproximação agrupada, \text{SE}\approx 1,8678.

Passo 5

(d) Se subtrairmos 50 de cada valor original, como fica a nova tabela de distribuição de frequências?
Raciocínio: subtrair uma constante de todos os valores desloca as classes para a esquerda pela mesma constante; as frequências permanecem iguais.
Subtraindo 50 das classes originais, as novas classes são (cada classe deslocada em -50):
  • [0,20) [-50,-30) com f=2.
  • [20,40) [-30,-10) com f=4.
  • [40,60) [-10,10) com f=14.
  • [60,80) [10,30) com f=49.
  • [80,100] [30,50] com f=9.
Portanto a nova tabela (classe : frequência) é:
[-50,-30):2,\quad [-30,-10):4,\quad [-10,10):14,\quad [10,30):49,\quad [30,50]:9.

Passo 6

(e) Média aproximada dos novos valores (após subtrair 50).
Propriedade importante (explicada): se todos os valores x_i são transformados em y_i = x_i - c (subtrai-se constante c), a nova média é
\bar{y} = \bar{x} - c.
Usando a média aproximada que obtivemos no passo 2, \bar{x}\approx 65,128205, com c=50:
\bar{y} \approx 65,128205 - 50 = 15,128205.
Assim, \bar{y}\approx 15,12821.
Comentário intuitivo: deslocar todos os dados por uma constante desloca a média pelo mesmo valor.

Passo 7

(f) Variância aproximada dos novos valores.
Propriedade importante: ao transformar y_i = x_i - c, a variância não muda (a subtração de uma constante não altera a dispersão em torno da média). Então
\operatorname{Var}(y) = \operatorname{Var}(x).
Logo a variância aproximada dos novos valores é a mesma que calculamos no passo 4:
s_y^2 \approx 272,040475.
O desvio padrão também permanece s_y \approx 16,49213.

Passo 8

(g) Obter a soma dos quadrados dos valores originais \sum x_i^2, sabendo que para os valores originais \bar{x}=64,24167 e s^2=253,6385.
Fórmula (reorganizando a definição de variância amostral):
s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1} \quad\Rightarrow\quad \sum x_i^2 = (n-1)s^2 + n\bar{x}^2.
Aqui n=78, \bar{x}=64,24167 e s^2=253,6385.
Calculemos n\bar{x}^2. Primeiro \bar{x}^2\approx 64,24167^2 \approx 4126,99216 (aproximando). Então
n\bar{x}^2 \approx 78\cdot4126,99216 \approx 321905,3887.
E
(n-1)s^2 = 77\cdot253,6385 \approx 19530,1645.
Somando:
\sum x_i^2 \approx 321905,3887 + 19530,1645 \approx 341435,5532.
Observação: arredondamentos intermediários podem alterar um pouco o último algarismo; resposta final aproximada:
\sum x_i^2 \approx 341435,5532.

Passo 9

(h) Construção do histograma e da ogiva percentual (dados necessários para traçar).
Histograma (dados para desenhar): como as classes têm mesma largura h=20, pode-se usar a altura das barras proporcional à frequência f_i (ou, se preferir densidade, usar f_i/h). Valores práticos:
Tabela de classes, frequência e densidade (frequência por unidade de classe):
\begin{aligned} [0,20)\\ &:\\ f=2,\quad \text{densidade}= \frac{2}{20}=0,10,\\\ [20,40)\\ &:\\ f=4,\quad \text{densidade}= \frac{4}{20}=0,20,\\\ [40,60)\\ &:\\ f=14,\quad \text{densidade}= \frac{14}{20}=0,70,\\\ [60,80)\\ &:\\ f=49,\quad \text{densidade}= \frac{49}{20}=2,45,\\\ [80,100]\\ &:\\ f=9,\quad \text{densidade}= \frac{9}{20}=0,45. \end{aligned}
Para o histograma:
  • No eixo horizontal coloca-se as classes (0–20, 20–40, …).
  • No eixo vertical pode-se colocar a frequência f_i (Alturas: 2, 4, 14, 49, 9) ou a densidade (0,10; 0,20; 0,70; 2,45; 0,45). Como todas as larguras são iguais, usar frequências é direto; usar densidade torna o gráfico compatível se as larguras fossem diferentes.
Ogiva percentual (dados para traçar): ogiva é o gráfico da frequência acumulada (ou percentual acumulado) versus limite superior da classe. Cálculos:
Frequência acumulada e percentuais (usar n=78):
\begin{aligned} \text{limite superior }20 &: F=2,\quad \% = \frac{2}{78}\cdot100 \approx 2,56\%,\\\ \text{limite superior }40 &: F=6,\quad \% = \frac{6}{78}\cdot100 \approx 7,69\%,\\\ \text{limite superior }60 &: F=20,\quad \% = \frac{20}{78}\cdot100 \approx 25,64\%,\\\ \text{limite superior }80 &: F=69,\quad \% = \frac{69}{78}\cdot100 \approx 88,46\%,\\\ \text{limite superior }100 &: F=78,\quad \% = \frac{78}{78}\cdot100 = 100,00\%. \end{aligned}
Para desenhar a ogiva percentual:
  • No eixo horizontal usa-se o valor do limite superior da classe (20, 40, 60, 80, 100).
  • No eixo vertical usa-se o percentual acumulado (2,56%; 7,69%; 25,64%; 88,46%; 100,00%).
  • Liga-se os pontos por segmentos (ou curva suave) começando em zero no limite inferior antes do primeiro intervalo, se desejar.

Passo 10

(i) Qual gráfico usar para obter a mediana e calcular a mediana aproximada.
Escolha do gráfico: a ogiva percentual (ou ogiva de frequências acumuladas) é o gráfico apropriado para obter a mediana por leitura/interpolação, porque a mediana corresponde ao ponto onde a frequência acumulada atinge 50\% (ou n/2 no eixo de frequências).
Cálculo da mediana por interpolação dentro da classe mediana (fórmula para dados agrupados):
\text{Mediana} \approx L + \frac{\frac{n}{2} - F_{c-1}}{f_c}\cdot h,
onde:
  • L é o limite inferior da classe mediana,
  • n/2 é metade da amostra,
  • F_{c-1} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f_c é a frequência na classe mediana,
  • h é a largura da classe.
Aqui a classe mediana é [60,80), logo:
L=60,\quad \frac{n}{2}=39,\quad F_{c-1}=20,\quad f_c=49,\quad h=20.
Aplicando:
\text{Mediana} \approx 60 + \frac{39-20}{49}\cdot20 = 60 + \frac{19}{49}\cdot20 \approx 60 + 7,7551 \approx 67,7551.
Arredondando, a mediana aproximada é \approx 67,75510.
Comentário: no ogiva, para encontrar a mediana, procura-se o ponto onde o eixo vertical é 50\% (ou o valor n/2 no eixo de frequências acumuladas) e lê-se a abscissa correspondente; a interpolação analítica (fórmula acima) fornece esse valor de forma direta.

Resposta

(a) \bar{x}\approx 65,12821
(b) A classe da mediana é [60,80)
(c) Erro padrão da média (aprox.) \text{SE}\approx 1,86777
(d) Nova tabela (subtraindo 50 de cada valor):
[-50,-30):2,\;[-30,-10):4,\;[-10,10):14,\;[10,30):49,\;[30,50]:9
(e) Média dos novos valores \approx 15,12821
(f) Variância dos novos valores \approx 272,04048
(g) \displaystyle \sum x_i^2 \approx 341435,5532
(h) Dados para o histograma: classes com frequências 2,4,14,49,9 (ou densidades 0,10;\,0,20;\,0,70;\,2,45;\,0,45). Dados para a ogiva percentual (limite superior → % acumulado): 20\to2,56\%, 40\to7,69\%, 60\to25,64\%, 80\to88,46\%, 100\to100,00\%.
(i) Usar a ogiva percentual para obter a mediana; mediana aproximada \approx 67,75510.

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