Pede-se:
(a) Calcule o valor aproximado para a média amostral?
(b) Indique a classe de valores que contem a mediana amostral!
(c) Calcule o valor aproximado para o erro padrão da média!
(d) Se subtrairmos 50 de cada valor original, como seria a nova tabela de distribuição das frequências?
(e) Qual seria a média aproximada dos novos valores?
(f) Qual seria a variância aproximada dos novos valores?
(g) Sabe-se que, para os valores originais, a média amostral é igual a 64,24167 , e a variância amostral é 253,6385 . Obtenha a soma dos quadrados dos valores originais. Obs: Os valores podem não ser exatos devido a pequenas aproximações realizadas.
(h) A partir da tabela dada no problema, construa o histograma e a ogiva percentual.
(i) Qual o gráfico do item (h) deve ser usado para obter o valor aproximado da mediana? Obtenha esse valor.
Considere a distribuição das notas dos estudantes de EST 106 de um determinado período anterior:
Classes
2
10
4
30
14
50
49
70
9
90
(a) Calcule o valor aproximado para a média amostral?
(b) Indique a classe de valores que contem a mediana amostral!
(c) Calcule o valor aproximado para o erro padrão da média!
(d) Se subtrairmos 50 de cada valor original, como seria a nova tabela de distribuição das frequências?
(e) Qual seria a média aproximada dos novos valores?
(f) Qual seria a variância aproximada dos novos valores?
(g) Sabe-se que, para os valores originais, a média amostral é igual a 64,24167 , e a variância amostral é 253,6385 . Obtenha a soma dos quadrados dos valores originais. Obs: Os valores podem não ser exatos devido a pequenas aproximações realizadas.
(h) A partir da tabela dada no problema, construa o histograma e a ogiva percentual.
(i) Qual o gráfico do item (h) deve ser usado para obter o valor aproximado da mediana? Obtenha esse valor.
Considere a distribuição das notas dos estudantes de EST 106 de um determinado período anterior:
| Classes |
|
|
|
|
2 | 10 |
|
|
4 | 30 |
|
|
14 | 50 |
|
|
49 | 70 |
|
|
9 | 90 |
Passo 1
O que o enunciado pede (lista de perguntas):
- (a) Calcular um valor aproximado para a média amostral.
- (b) Indicar a classe que contém a mediana amostral.
- (c) Calcular o erro padrão da média (estimado a partir dos dados agrupados).
- (d) Descrever a nova tabela de frequência se subtrairmos
de cada valor. - (e) Calcular a média aproximada dos novos valores.
- (f) Calcular a variância aproximada dos novos valores.
- (g) Usando que
e para os valores originais, obter a soma dos quadrados dos valores originais . - (h) Construir os dados para o histograma e para a ogiva percentual a partir da tabela.
- (i) Dizer qual gráfico do item (h) usar para obter a mediana e obter essa mediana aproximada.
Informações dadas (retiradas da tabela enviada):
- Classes e marcas de classe (coluna
é a marca de classe = ponto médio): - Classe
, , marca . - Classe
, , marca . - Classe
, , marca . - Classe
, , marca . - Classe
, , marca .
- Classe
- Tamanho amostral total:
- Largura das classes (todas iguais):
(cada classe cobre 20 pontos).
Passo 2
(a) Cálculo da média amostral aproximada a partir dos dados agrupados.
Raciocínio e fórmula: para dados agrupados, usa-se a média aproximada
onde
é a frequência da i-ésima classe,
é a marca de classe (ponto médio), e
é o total de observações.
Calculemos
:
Portanto
Arredondando de forma razoável,
.
Explicação curta: a média dos dados agrupados é a média ponderada das marcas das classes, ponderadas pelas frequências. É uma aproximação porque cada valor da classe é substituído pela marca da classe.
Passo 3
(b) Determinar a classe que contém a mediana amostral.
Raciocínio: a mediana é o valor que divide a amostra em duas metades; para
observações ordenadas, a mediana corresponde à posição
(no caso de interpolação em dados agrupados usamos
). Calculamos as frequências acumuladas e vemos em qual classe o
cai.
Frequências acumuladas:
Metade da amostra:
Observando as acumulações,
está entre
e
. Logo a mediana pertence à classe
.
Resposta: a classe da mediana é
.
Passo 4
(c) Cálculo do erro padrão da média (estimado a partir dos dados agrupados).
Passo a passo e fórmulas:
- Primeiro calculamos
(necessário para a variância agrupada):
Calculemos:
Somando:
- Fórmula da variância amostral aproximada (dados agrupados), usando correção de Bessel:
onde
é a média calculada no passo 2.
Já temos
,
e
. Calculamos
:
Então o numerador:
Logo
Desvio padrão aproximado:
- Erro padrão da média (standard error, SE) é
Com
e
(portanto
):
Interpretação rápida: o erro padrão diz quão incerta é a estimativa da média; aqui, pela aproximação agrupada,
.
Passo 5
(d) Se subtrairmos
de cada valor original, como fica a nova tabela de distribuição de frequências?
Raciocínio: subtrair uma constante de todos os valores desloca as classes para a esquerda pela mesma constante; as frequências permanecem iguais.
Subtraindo
das classes originais, as novas classes são (cada classe deslocada em
):
-
→ com . -
→ com . -
→ com . -
→ com . -
→ com .
Portanto a nova tabela (classe : frequência) é:
Passo 6
(e) Média aproximada dos novos valores (após subtrair
).
Propriedade importante (explicada): se todos os valores
são transformados em
(subtrai-se constante
), a nova média é
Usando a média aproximada que obtivemos no passo 2,
, com
:
Assim,
.
Comentário intuitivo: deslocar todos os dados por uma constante desloca a média pelo mesmo valor.
Passo 7
(f) Variância aproximada dos novos valores.
Propriedade importante: ao transformar
, a variância não muda (a subtração de uma constante não altera a dispersão em torno da média). Então
Logo a variância aproximada dos novos valores é a mesma que calculamos no passo 4:
O desvio padrão também permanece
.
Passo 8
(g) Obter a soma dos quadrados dos valores originais
, sabendo que para os valores originais
e
.
Fórmula (reorganizando a definição de variância amostral):
Aqui
,
e
.
Calculemos
. Primeiro
(aproximando). Então
E
Somando:
Observação: arredondamentos intermediários podem alterar um pouco o último algarismo; resposta final aproximada:
Passo 9
(h) Construção do histograma e da ogiva percentual (dados necessários para traçar).
Histograma (dados para desenhar): como as classes têm mesma largura
, pode-se usar a altura das barras proporcional à frequência
(ou, se preferir densidade, usar
). Valores práticos:
Tabela de classes, frequência e densidade (frequência por unidade de classe):
Para o histograma:
- No eixo horizontal coloca-se as classes (0–20, 20–40, …).
- No eixo vertical pode-se colocar a frequência
(Alturas: 2, 4, 14, 49, 9) ou a densidade (0,10; 0,20; 0,70; 2,45; 0,45). Como todas as larguras são iguais, usar frequências é direto; usar densidade torna o gráfico compatível se as larguras fossem diferentes.
Ogiva percentual (dados para traçar): ogiva é o gráfico da frequência acumulada (ou percentual acumulado) versus limite superior da classe. Cálculos:
Frequência acumulada e percentuais (usar
):
Para desenhar a ogiva percentual:
- No eixo horizontal usa-se o valor do limite superior da classe (20, 40, 60, 80, 100).
- No eixo vertical usa-se o percentual acumulado (2,56%; 7,69%; 25,64%; 88,46%; 100,00%).
- Liga-se os pontos por segmentos (ou curva suave) começando em zero no limite inferior antes do primeiro intervalo, se desejar.
Passo 10
(i) Qual gráfico usar para obter a mediana e calcular a mediana aproximada.
Escolha do gráfico: a ogiva percentual (ou ogiva de frequências acumuladas) é o gráfico apropriado para obter a mediana por leitura/interpolação, porque a mediana corresponde ao ponto onde a frequência acumulada atinge
(ou
no eixo de frequências).
Cálculo da mediana por interpolação dentro da classe mediana (fórmula para dados agrupados):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é metade da amostra, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência na classe mediana, -
é a largura da classe.
Aqui a classe mediana é
, logo:
Aplicando:
Arredondando, a mediana aproximada é
.
Comentário: no ogiva, para encontrar a mediana, procura-se o ponto onde o eixo vertical é
(ou o valor
no eixo de frequências acumuladas) e lê-se a abscissa correspondente; a interpolação analítica (fórmula acima) fornece esse valor de forma direta.
Resposta
(a)
(b) A classe da mediana é
(c) Erro padrão da média (aprox.)
(d) Nova tabela (subtraindo de cada valor):
(e) Média dos novos valores
(f) Variância dos novos valores
(g)
(h) Dados para o histograma: classes com frequências (ou densidades
). Dados para a ogiva percentual (limite superior → % acumulado):
,
,
,
,
.
(i) Usar a ogiva percentual para obter a mediana; mediana aproximada .
(b) A classe da mediana é
(c) Erro padrão da média (aprox.)
(d) Nova tabela (subtraindo
(e) Média dos novos valores
(f) Variância dos novos valores
(g)
(h) Dados para o histograma: classes com frequências
(i) Usar a ogiva percentual para obter a mediana; mediana aproximada