Uma biblioteca tem uma estante com 10 livros diferentes, dos quais 4 são livros de matemática e 6 são de física. Se um aluno deseja escolher 5 livros, dos quais pelo menos 2 devem ser de matemática, quantas combinações diferentes ele pode fazer?
7 - Um caminhante aleatório começa na posição x=0 em uma linha reta. A cada passo, ele se move uma unidade para a direita (l=+1) ou para a esquerda (l=-1), com igual probabilidade. Após 2 passos, quais são as posições possíveis do caminhante e a probabilidade de ele estar em cada uma delas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A biblioteca tem 10 livros diferentes: 4 de matemática e 6 de física. O aluno quer escolher 5 livros, mas quer que pelo menos 2 sejam de matemática. Então, a gente vai precisar usar combinações para calcular de quantas maneiras ele pode fazer essa escolha.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar nas possibilidades de quantos livros de matemática o aluno pode pegar. Como ele quer pelo menos 2, as opções são:
  • 2 de matemática e 3 de física
  • 3 de matemática e 2 de física
  • 4 de matemática e 1 de física

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas situações separadamente usando a fórmula de combinação:
C(n, k) = n!k!(n-k)!
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.

Passo 4

Caso 1: 2 de matemática e 3 de física.
C(4, 2) times C(6, 3) = 4!2!2! times 6!3!3! = 6 times 20 = 120

Passo 5

Caso 2: 3 de matemática e 2 de física.
C(4, 3) times C(6, 2) = 4!3!1! times 6!2!4! = 4 times 15 = 60

Passo 6

Caso 3: 4 de matemática e 1 de física.
C(4, 4) times C(6, 1) = 4!4!0! times 6!1!5! = 1 times 6 = 6

Passo 7

Agora, somamos todas as possibilidades:
120 + 60 + 6 = 186

Passo 8

Vamos entender o problema: um caminhante começa na posição $ x = 0 $ e, a cada passo, pode ir para a direita ($ +1 x = 0 -1 $) com igual probabilidade. Depois de 2 passos, queremos saber quais posições ele pode estar e a probabilidade de cada uma.

Passo 9

Primeiro, vamos listar todas as possíveis sequências de passos que o caminhante pode dar em 2 movimentos. Cada passo tem 2 opções, então há $ 2^2 = 4 $ possíveis sequências.

Passo 10

Listando as sequências:
  1. Direita ($ +1 +1 +1 $) → posição $ +2 $
  2. Direita ($ +1 +1 -1 $) → posição $ 0 $
  3. Esquerda ($ -1 +2 +1 $) → posição $ 0 $
  4. Esquerda ($ -1 +1 -1 $) → posição $ -2 $

Passo 11

Agora, identificamos as posições possíveis:
  • $ +2 $
  • $ 0 $
  • $ -2 $

Passo 12

Vamos calcular a probabilidade de cada posição:
  • Posição $ +2 $: ocorre em 1 das 4 sequências → $ \frac{1}{4} $ ou 25%
  • Posição $ 0 $: ocorre em 2 das 4 sequências → $ \frac{2}{4} $ ou 50%
  • Posição $ -2 $: ocorre em 1 das 4 sequências → $ \frac{1}{4} $ ou 25%

Resposta

Após 2 passos, o caminhante pode estar nas posições $ -2 $, $ 0 $ ou $ +2 $. As probabilidades são:
  • $ P(-2) = 25% $
  • $ P(0) = 50% $
  • $ P(+2) = 25% $

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