Uma biblioteca tem uma estante com 10 livros diferentes, dos quais 4 são livros de matemática e 6 são de física. Se um aluno deseja escolher 5 livros, dos quais pelo menos 2 devem ser de matemática, quantas combinações diferentes ele pode fazer?
7 - Um caminhante aleatório começa na posição
em uma linha reta. A cada passo, ele se move uma unidade para a direita
ou para a esquerda
, com igual probabilidade. Após 2 passos, quais são as posições possíveis do caminhante e a probabilidade de ele estar em cada uma delas?
7 - Um caminhante aleatório começa na posição
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A biblioteca tem 10 livros diferentes: 4 de matemática e 6 de física. O aluno quer escolher 5 livros, mas quer que pelo menos 2 sejam de matemática. Então, a gente vai precisar usar combinações para calcular de quantas maneiras ele pode fazer essa escolha.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar nas possibilidades de quantos livros de matemática o aluno pode pegar. Como ele quer pelo menos 2, as opções são:
- 2 de matemática e 3 de física
- 3 de matemática e 2 de física
- 4 de matemática e 1 de física
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas situações separadamente usando a fórmula de combinação:
onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
Passo 4
Caso 1: 2 de matemática e 3 de física.
Passo 5
Caso 2: 3 de matemática e 2 de física.
Passo 6
Caso 3: 4 de matemática e 1 de física.
Passo 7
Agora, somamos todas as possibilidades:
Passo 8
Vamos entender o problema: um caminhante começa na posição $ x = 0 $ e, a cada passo, pode ir para a direita ($ +1
-1 $) com igual probabilidade. Depois de 2 passos, queremos saber quais posições ele pode estar e a probabilidade de cada uma.
Passo 9
Primeiro, vamos listar todas as possíveis sequências de passos que o caminhante pode dar em 2 movimentos. Cada passo tem 2 opções, então há $ 2^2 = 4 $ possíveis sequências.
Passo 10
Listando as sequências:
- Direita ($ +1
+1 $) → posição $ +2 $ - Direita ($ +1
-1 $) → posição $ 0 $ - Esquerda ($ -1
+1 $) → posição $ 0 $ - Esquerda ($ -1
-1 $) → posição $ -2 $
Passo 11
Agora, identificamos as posições possíveis:
- $ +2 $
- $ 0 $
- $ -2 $
Passo 12
Vamos calcular a probabilidade de cada posição:
- Posição $ +2 $: ocorre em 1 das 4 sequências → $ \frac{1}{4} $ ou 25%
- Posição $ 0 $: ocorre em 2 das 4 sequências → $ \frac{2}{4} $ ou 50%
- Posição $ -2 $: ocorre em 1 das 4 sequências → $ \frac{1}{4} $ ou 25%
Resposta
Após 2 passos, o caminhante pode estar nas posições $ -2 $, $ 0 $ ou $ +2 $. As probabilidades são:
- $ P(-2) = 25% $
- $ P(0) = 50% $
- $ P(+2) = 25% $