No curso básico de uma universidade, deseja-se saber se existe diferença em uma certa disciplina, entre os alunos que fizeram curso pré-vestibular e os que não o fizeram. Um grupo de 12 alunos que tinha feito o curso obteve média de 6,3 com desvio padrão de 0,4 e um grupo de 15 alunos que não tinham feito curso obteve média de 6,1 com desvio padrão 0,5 . Pode-se considerar o 1^circ grupo superior ao 2^circ grupo quanto ao rendimento? Use teste de hipótese para responder este questionamento. Antes faça o teste para verificar se as variâncias são homogêneas ou heterogêneas ( 10 pontos)
Boa prova!!

Passo 1

Então, o enunciado quer saber se o grupo que fez curso pré-vestibular (n₁=12, média x̄₁=6,3, s₁=0,4) é superior ao que não fez (n₂=15, x̄₂=6,1, s₂=0,5). Isso cai em “Teste de Hipóteses para comparação de duas médias independentes”: primeiro a gente vê se as variâncias são iguais (teste F), depois faz o teste t (assumindo variâncias iguais ou não, conforme o resultado).

Passo 2

Teste de homogeneidade de variâncias (teste F)
  1. Hipóteses:
    H₀: σ₁² = σ₂²
    H₁: σ₁² ≠ σ₂²
  2. Estatística de teste:
    F = s2^2s1^2 (colocamos sempre o maior na frente para F ≥ 1)
    Então
    s1^2 = 0,4^2 = 0,16, s2^2 = 0,5^2 = 0,25
    Frm calc = 0,250,16 = 1,5625
  3. Graus de liberdade: df₁ = n₂–1 = 14, df₂ = n₁–1 = 11
  4. Para α=5%, os limites críticos são aproximadamente F₀․₀₂₅(14,11)=0,30 e F₀․₉₇₅(14,11)=3,29.
    Como 0,30 < 1,5625 < 3,29, não rejeitamos H₀.
Conclusão do passo 2: as variâncias podem ser consideradas homogêneas.

Passo 3

Teste t para duas médias com variâncias iguais
  1. Hipóteses (teste unilateral à direita):
    H₀: μ₁ ≤ μ₂
    H₁: μ₁ > μ₂
  2. Variância conjunta (pooled):
sp^2 = (n1-1)s1^2 + (n2-1)s2^2n1+n2-2 = 11cdot0,16 + 14cdot0,2512+15-2 = 1,76 + 3,5025 = 0,2104
sp = raiz0,2104 approx 0,4586
  1. Erro padrão da diferença:
SE = sp ,raiz1n1 + 1n2 = 0,4586,raiz112 + 115 approx 0,1776
  1. Estatística t:
t = x̄1 - x̄2SE = 6,3 - 6,10,1776 approx 1,126
graus de liberdade = n₁+n₂–2 = 25
5) Valor crítico t₀․₉₅(25) ≈ 1,708 (para α=5%, teste unilateral)
Como 1,126 < 1,708, não rejeitamos H₀.

Resposta

Não há evidência estatística para afirmar que o grupo que fez o curso pré-vestibular é superior em rendimento ao que não fez.

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