Uma bicicleta com rodas ideais é acelerada com as mãos pela roda traseira, sem ninguém montado.
a) Descreva a relação entre torque, aceleração angular e movimento da bicicleta.
b) O que impede ou favorece o equilíbrio dinâmico do sistema?
c) Há conservação de energia? De qual tipo?

Passo 1

O enunciado fala de uma bicicleta sem piloto, cujas rodas são ideais, e na qual aplicamos um torque \tau com as mãos na roda traseira, fazendo-a girar e, por atrito estático com o chão, a bicicleta se desloca. O conteúdo principal aqui é a Dinâmica Rotacional e Translação com rolamento sem deslizamento, estabilidade dinâmica de bicicletas e Princípio da Conservação de Energia (Teorema do Trabalho e Energia).

Passo 2

Para entender como o torque faz a bicicleta andar, dividimos o problema em duas partes: rotação da roda e translação do conjunto biciclet a+rodas.
  1. Newton para rotação (eixo da roda):
\tau - F_{\!f}\,R = I\,\alpha
onde
\tau é o torque aplicado pelas mãos,
F_{\!f} é a força de atrito estático no ponto de contato roda-chão,
R é o raio da roda,
I é o momento de inércia da roda em torno do seu eixo,
\alpha é a aceleração angular da roda.
  1. Condição de rolamento sem deslizamento:
a = \alpha\,R
sendo a a aceleração do centro de massa da bicicleta.
  1. Newton para translação (centro de massa):
F_{\!f} = m\,a
onde m é a massa total da bicicleta mais rodas.
  1. Eliminando F_{\!f} e \alpha:
\tau - (m\,a)\,R = I\,(a/R) \quad\Longrightarrow\quad \tau = m\,a\,R + \frac{I\,a}{R} \quad\Longrightarrow\quad a\;\bigl(m\,R + \tfrac{I}{R}\bigr) = \tau
portanto
a = \frac{\tau}{m\,R + \tfrac{I}{R}} = \frac{\tau\,R}{I + m\,R^2} \,, \quad \alpha = \frac{a}{R} = \frac{\tau}{I + m\,R^2}\,.
Isso mostra como o torque aplicado gera aceleração angular \alpha da roda e, via atrito estático, acelera linearmente a bicicleta.

Passo 3

O equilíbrio dinâmico (capacidade da bicicleta de se manter em pé em movimento) depende de dois efeitos principais:
Geometria de direcionamento (trail): o ponto de contato da roda dianteira fica atrás da projeção do pivô da furca. Quando a bicicleta inicia uma pequena inclinação, essa geometria faz a roda girar para dentro da curva, criando um momento restaurador.
Efeito giroscópico: uma roda em rotação com momento de inércia I e velocidade angular \omega gera um torque giroscópico quando tentamos alterar o seu eixo de rotação. Esse torque tende a fazer a roda “resistir” à mudança de orientação, fornecendo um pequeno momento estabilizador.
Sem piloto para fazer correções finas de guidão, a bicicleta só se mantém reta se esses dois efeitos superarem o torque de tombamento (peso agindo fora da base de apoio instantânea). A baixa velocidade enfraquece ambos (trail pequeno e giroscópio fraco), o que impede o equilíbrio dinâmico; em alta velocidade, favorece-o.

Passo 4

Quanto à energia, aplicamos o Teorema do Trabalho e Energia: o trabalho do torque \tau é convertido em energia cinética rotacional da(s) roda(s) e cinética de translação da bicicleta.
– Trabalho realizado pelo torque:
W = \int \tau\,d\theta = \tau\,\theta
– Variação de energia cinética total:
\Delta K = \tfrac12\,m\,v^2 + \tfrac12\,I\,\omega^2 \,.
Em rodas ideais (sem dissipação), o atrito estático no rolamento não faz trabalho (ponto de contato instantâneo em repouso). Logo, toda energia fornecida por nós (mãos) vai para \Delta K.
Portanto, não há conservação de energia mecânica da bicicleta isoladamente (ela ganha energia graças ao trabalho externo). Se considerarmos o sistema “mãos + bicicleta” como fechado, aí sim a energia total (química → trabalho → cinética) se conserva.

Resposta

a) O torque \tau aplicado gera uma aceleração angular \alpha segundo \tau=I\,\alpha+F_{f}R e, via rolamento sem deslizamento a=\alpha R, produz aceleração linear a=\tau R/(I+mR^2).
b) O equilíbrio dinâmico é impedido pela falta de correção ativa (piloto) e pelo enfraquecimento da geometria de trail e do efeito giroscópico em baixas velocidades; em alta velocidade, trail e torque giroscópico tendem a estabilizar.
c) A energia mecânica da bicicleta não se conserva isoladamente, pois cresce com o trabalho do torque. Incluindo o trabalho das mãos, a energia total (química→mecânica) se conserva pelo Teorema do Trabalho e Energia.

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