Projete (ou descreva) um mecanismo com no mínimo 3 elementos rotacionais que envolva:
  • Conservação do momento angular
  • Torque resultante
  • Rolamento sem deslizamento
  • Transferência de energia entre partes
Explique como cada parte contribui para o funcionamento da máquina e quais leis físicas são usadas.

Passo 1

O enunciado pede que projetemos um mecanismo com pelo menos três corpos giratórios em que apareçam simultaneamente (a) conservação do momento angular, (b) torque resultante, (c) rolamento sem deslizamento e (d) transferência de energia entre partes. Vamos usar uma engrenagem epicíclica “flutuante” (planetária) montada em um corpo sem torques externos, de modo que os três elementos rotacionais sejam o sol (engrenagem central), o anel (engrenagem interna fixa ao invólucro móvel) e o portador de satélites (carrier).

Passo 2

Descriçã o do mecanismo: imagine um invólucro livre de torques externos no espaço (ou apoiado em rolamentos de atrito desprezível). Dentro dele há
  1. a engrenagem solar de raio R_s, acionada por um motor de torque \tau_s,
  2. três engrenagens planetas de raio R_p montadas em portas, todas idênticas, e
  3. o anel interno de raio R_r.
    O motor aplica torque em s, o sol engrena sem deslizar nos planetas, e estes engranam sem deslizar no anel. O carrier liga os eixos dos planetas e pode girar livremente.

Passo 3

Rolamento sem deslizamento
Em cada malha de engrenagens (sol–planeta e planeta–anel) as velocidades tangenciais nos círculos de passo coincidem:
\omega_s\,R_s = \omega_p\,R_p
\omega_r\,R_r = \omega_p\,R_p
Isso garante que a cada instante o contato seja de rolamento puro, sem deslizamento relativo nos círculos de passo.

Passo 4

Torque resultante e lei de Newton–Euler
O motor aplica em s o torque \tau_s; pelas engrenagens internas surgem torques internos iguais em módulo nos planetas e no anel, mas com sentidos opostos. No sistema livre de torques externos, a soma vetorial dos torques sobre sol \tau_s, planetas \tau_p e anel \tau_r é zero:
\tau_s + \sum_p \tau_p + \tau_r = 0.
Cada peça satisfaz a equação rotacional
\sum\tau = I\,\alpha,
onde I e \alpha são o momento de inércia e a aceleração angular do corpo em questão.

Passo 5

Conservação do momento angular
Como não há torque externo resultante no invólucro, o momento angular total se conserva:
L_{\rm tot} = I_s\,\omega_s + I_r\,\omega_r + I_c\,\omega_c =\text{constante},
com I_c e \omega_c referindo-se ao carrier. Quando o motor acelera o sol, o anel e o carrier mudam \omega de modo que o somatório L_{\rm tot} permaneça igual ao valor inicial.

Passo 6

Transferência de energia
O trabalho do motor é
\delta W = \tau_s\,\mathrm{d}\theta_s,
que é repartido em energia cinética rotacional das três partes:
\Delta K =\tfrac12 I_s\omega_s^2 +\tfrac12 I_r\omega_r^2 +\tfrac12 I_c\omega_c^2.
A energia flui do sol para planetas e anel via contato sem escorregamento, demonstrando transferência interna de energia.

Resposta

Um sistema epicíclico de três corpos (sol, planetas e anel) montado em um invólucro sem torques externos ilustra todos os requisitos: (1) cada malha de engrenagens rola sem deslizamento nos círculos de passo; (2) o motor impõe um torque \tau_s cujas reações internas equilibram o torque resultante; (3) como \sum\tau_{\rm ext}=0, o momento angular total I_s\omega_s+I_r\omega_r+I_c\omega_c se conserva; e (4) o trabalho fornecido ao sol é redistribuído como energia cinética rotacional nos três elementos.

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