Projete (ou descreva) um mecanismo com no mínimo 3 elementos rotacionais que envolva:
- Conservação do momento angular
- Torque resultante
- Rolamento sem deslizamento
- Transferência de energia entre partes
Explique como cada parte contribui para o funcionamento da máquina e quais leis físicas são usadas.
Passo 1
O enunciado pede que projetemos um mecanismo com pelo menos três corpos giratórios em que apareçam simultaneamente (a) conservação do momento angular, (b) torque resultante, (c) rolamento sem deslizamento e (d) transferência de energia entre partes. Vamos usar uma engrenagem epicíclica “flutuante” (planetária) montada em um corpo sem torques externos, de modo que os três elementos rotacionais sejam o sol (engrenagem central), o anel (engrenagem interna fixa ao invólucro móvel) e o portador de satélites (carrier).
Passo 2
Descriçã o do mecanismo: imagine um invólucro livre de torques externos no espaço (ou apoiado em rolamentos de atrito desprezível). Dentro dele há
- a engrenagem solar de raio
, acionada por um motor de torque , - três engrenagens planetas de raio
montadas em portas, todas idênticas, e - o anel interno de raio
.
O motor aplica torque em, o sol engrena sem deslizar nos planetas, e estes engranam sem deslizar no anel. O carrier liga os eixos dos planetas e pode girar livremente.
Passo 3
Rolamento sem deslizamento
Em cada malha de engrenagens (sol–planeta e planeta–anel) as velocidades tangenciais nos círculos de passo coincidem:
Em cada malha de engrenagens (sol–planeta e planeta–anel) as velocidades tangenciais nos círculos de passo coincidem:
Isso garante que a cada instante o contato seja de rolamento puro, sem deslizamento relativo nos círculos de passo.
Passo 4
Torque resultante e lei de Newton–Euler
O motor aplica em o torque
; pelas engrenagens internas surgem torques internos iguais em módulo nos planetas e no anel, mas com sentidos opostos. No sistema livre de torques externos, a soma vetorial dos torques sobre sol
, planetas
e anel
é zero:
O motor aplica em
Cada peça satisfaz a equação rotacional
onde
e
são o momento de inércia e a aceleração angular do corpo em questão.
Passo 5
Conservação do momento angular
Como não há torque externo resultante no invólucro, o momento angular total se conserva:
Como não há torque externo resultante no invólucro, o momento angular total se conserva:
com
e
referindo-se ao carrier. Quando o motor acelera o sol, o anel e o carrier mudam
de modo que o somatório
permaneça igual ao valor inicial.
Passo 6
Transferência de energia
O trabalho do motor é
O trabalho do motor é
que é repartido em energia cinética rotacional das três partes:
A energia flui do sol para planetas e anel via contato sem escorregamento, demonstrando transferência interna de energia.
Resposta
Um sistema epicíclico de três corpos (sol, planetas e anel) montado em um invólucro sem torques externos ilustra todos os requisitos: (1) cada malha de engrenagens rola sem deslizamento nos círculos de passo; (2) o motor impõe um torque
cujas reações internas equilibram o torque resultante; (3) como
, o momento angular total
se conserva; e (4) o trabalho fornecido ao sol é redistribuído como energia cinética rotacional nos três elementos.