Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a desigualdade
. Aqui, estamos lidando com coeficientes binomiais e potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é um coeficiente binomial e como trabalhar com potências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse símbolo representa um coeficiente binomial, que é usado para calcular combinações. Especificamente,
significa o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos. A fórmula para o coeficiente binomial é:
onde
(fatorial de
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado direito da desigualdade,
. Isso é simplesmente 4 elevado à potência de
. Sabemos que
, então podemos reescrever
como:
Passo 4
Para comparar
com
, vamos lembrar do Teorema do Binômio de Newton, que afirma que:
Isso significa que a soma de todos os coeficientes binomiais
para
de 0 a
é igual a
.
Passo 5
Observamos que
é o coeficiente binomial central e, na verdade, é o maior termo na soma
. Como todos os termos são positivos, o maior deles deve ser menor que a soma total dos termos. Portanto, temos:
Resposta
Assim, demonstramos que
.