binom(2n, n) < 4^n

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a desigualdade . Aqui, estamos lidando com coeficientes binomiais e potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é um coeficiente binomial e como trabalhar com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Esse símbolo representa um coeficiente binomial, que é usado para calcular combinações. Especificamente, significa o número de maneiras de escolher elementos de um conjunto de elementos. A fórmula para o coeficiente binomial é:
onde (fatorial de ) é o produto de todos os números inteiros de 1 até .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado direito da desigualdade, . Isso é simplesmente 4 elevado à potência de . Sabemos que , então podemos reescrever como:

Passo 4

Para comparar com , vamos lembrar do Teorema do Binômio de Newton, que afirma que:
Isso significa que a soma de todos os coeficientes binomiais para de 0 a é igual a .

Passo 5

Observamos que é o coeficiente binomial central e, na verdade, é o maior termo na soma . Como todos os termos são positivos, o maior deles deve ser menor que a soma total dos termos. Portanto, temos:

Resposta

Assim, demonstramos que .

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