Usando coordenadas polares calcule a área da elipse:
4 x^2 + (y + 1)^2 = 16

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a área de uma elipse usando coordenadas polares. A equação da elipse que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e integração para encontrar essa área. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma que facilite a conversão para coordenadas polares. Dividindo todos os termos por 16, temos:
Isso mostra que a elipse está centrada em , com semi-eixos e .

Passo 3

Em coordenadas polares, usamos as relações:
Mas como a elipse está centrada em , precisamos ajustar essas relações para levar em conta o deslocamento no eixo y. Então, substituímos y por na equação original:

Passo 4

Simplificando a equação:

Passo 5

A área em coordenadas polares é calculada pela integral dupla:
Substituindo r^2 da nossa equação:

Passo 6

Simplificando o denominador:
Então:
A área fica:

Passo 7

Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração múltipla ou aproveitando simetrias da elipse. No entanto, já sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Onde a e b são os semi-eixos da elipse.

Passo 8

Substituindo os valores de e :

Resposta

A área da elipse é unidades de área.

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