Usando coordenadas polares calcule a área da elipse:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a área de uma elipse usando coordenadas polares. A equação da elipse que temos é:
Vamos precisar usar conceitos de coordenadas polares e integração para encontrar essa área. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma que facilite a conversão para coordenadas polares. Dividindo todos os termos por 16, temos:
Isso mostra que a elipse está centrada em
, com semi-eixos
e
.
Passo 3
Em coordenadas polares, usamos as relações:
Mas como a elipse está centrada em
, precisamos ajustar essas relações para levar em conta o deslocamento no eixo y. Então, substituímos
por
na equação original:
Passo 4
Simplificando a equação:
Passo 5
A área em coordenadas polares é calculada pela integral dupla:
Substituindo
da nossa equação:
Passo 6
Simplificando o denominador:
Então:
A área fica:
Passo 7
Essa integral pode ser resolvida utilizando técnicas de integração múltipla ou aproveitando simetrias da elipse. No entanto, já sabemos que a área de uma elipse é dada por:
Onde
e
são os semi-eixos da elipse.
Passo 8
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
A área da elipse é
unidades de área.