Calcule as integrais iteradas. integral1^3 integral-1^1(2 x-4 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo integrar em duas direções diferentes: primeiro em relação a e depois em relação a . O enunciado nos dá os limites de integração:
  • Para , de a
  • Para , de a
A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções básicas e entender como funcionam as integrais iteradas, ou seja, fazer uma integral depois da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a que está em relação a integral-1^1 (2x - 4y) , dy . Isso significa que vamos tratar integral 2x , dy = 2x cdot y como uma constante nessa etapa.
A integral interna é:
integral -4y , dy = -4 cdot y^22 = -2y^2
Vamos integrar termo a termo:
  1. Integrando integral-1^1 (2x - 4y) , dy = 2x cdot y - 2y^2 |-1^1 em relação a 2x cdot 1 - 2(1)^2 = 2x - 2 :
2x cdot (-1) - 2(-1)^2 = -2x - 2
Como (2x - 2) - (-2x - 2) = 2x - 2 + 2x + 2 = 4x é constante em relação a , ele fica fora da integral.
  1. Integrando em relação a :
Agora, juntando as integrais:
Vamos substituir os limites de agora:
Para :
Para :
Subtraindo:
Ent��o, a integral interna resulta em .

Passo 3

Agora, vamos para a integral externa, que é em relação a integral1^3 4x , dx . A expressão que obtivemos da integral interna foi integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2 , então a integral externa fica:
2(3)^2 = 2 cdot 9 = 18
Vamos integrar 2(1)^2 = 2 cdot 1 = 2 em relação a 18 - 2 = 16 :
Agora, substituímos os limites de :
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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