Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é tipo integrar em duas direções diferentes: primeiro em relação a e depois em relação a . O enunciado nos dá os limites de integração:
Para , de a
Para , de a
A função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções básicas e entender como funcionam as integrais iteradas, ou seja, fazer uma integral depois da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é a que está em relação a . Isso significa que vamos tratar como uma constante nessa etapa.
A integral interna é:
Vamos integrar termo a termo:
Integrando em relação a :
Como é constante em relação a , ele fica fora da integral.
Integrando em relação a :
Agora, juntando as integrais:
Vamos substituir os limites de agora:
Para :
Para :
Subtraindo:
Ent��o, a integral interna resulta em .
Passo 3
Agora, vamos para a integral externa, que é em relação a integral1^3 4x , dx . A expressão que obtivemos da integral interna foi integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2 , então a integral externa fica:
2(3)^2 = 2 cdot 9 = 18
Vamos integrar 2(1)^2 = 2 cdot 1 = 2 em relação a 18 - 2 = 16 :