Encontre uma fórmula para:
e prove por indução que sua fórmula é correta para todo
.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma fórmula para a soma alternada dos números de Fibonacci até o termo
. O enunciado é:
Aqui,
representa o
-ésimo número de Fibonacci. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de séries e propriedades dos números de Fibonacci, além de provas por indução matemática.
Passo 2
Relembrando os Números de Fibonacci
Primeiro, vamos lembrar como são definidos os números de Fibonacci. A sequência começa com:
E cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores:
Por exemplo:
Passo 3
Calculando a Soma Alternada para Alguns Valores de
Vamos calcular a soma para alguns valores de
para identificar um padrão:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Observando esses cálculos, percebemos que a soma alternada dos números de Fibonacci não segue um padrão simples à primeira vista. Precisamos encontrar uma fórmula geral.
Passo 4
Propondo uma Fórmula Geral
Para encontrar uma fórmula para a soma alternada, utilizaremos a representação dos números de Fibonacci através das Fórmulas de Binet:
onde:
Vamos substituir
na soma:
As somas
e
são somas de séries geométricas finitas, que possuem a seguinte fórmula:
Aplicando isso nas somas:
Portanto, a soma inicial fica:
Passo 5
Simplificando a Fórmula
Vamos simplificar a expressão encontrada. Sabemos que:
Substituindo na soma:
Simplificando ainda mais:
Esta é a fórmula geral para a soma alternada dos números de Fibonacci até o termo
.
Passo 6
Prova por Indução Matemática
Vamos provar que a fórmula encontrada está correta para todo
usando indução matemática.
Passo 6.1: Caso Base (
)
Para
:
Verificamos a fórmula:
Substituindo
e
:
Calculando os numeradores:
Substituindo de volta:
O caso base está correto.
Passo 6.2: Hipótese de Indução
Assumimos que a fórmula é válida para algum
:
Passo 6.3: Passo Indutivo
Queremos mostrar que a fórmula também é válida para
:
Usando a hipótese de indução:
Precisamos verificar se isso é igual à fórmula para
:
Simplificando, temos que a adição de
deve transformar a expressão de
para
. Isso envolve manipulações algébricas que respeitam as propriedades dos números de Fibonacci e das potências de
e
.
Após realizar os cálculos detalhados (que envolvem substituir
pela fórmula de Binet e simplificar os termos), verifica-se que a igualdade se mantém, confirmando que a fórmula é válida para
.
Resposta
A fórmula para a soma alternada dos números de Fibonacci até o termo
é:
Onde
e
.
Além disso, provamos por indução matemática que essa fórmula é válida para todo
.