1. (binomial2) Considere as funções dbinom() e pbinom(). Seja X uma variável aleatória com distribuição binomial com parâmetros n e p.
    Obtenha Pr(X <= 5) se n=10 e p=1 / 3;

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável aleatória X ~ Binomial(n=10, p=1/3) e pede Pr(X ≤ 5). Vamos usar a definição de distribuição binomial e as funções dbinom() e pbinom() do R para resolver.

Passo 2

A probabilidade de uma binomial é dada pela função massa de probabilidade (pmf):
P(X=x)=binomnxp^x(1-p)^n-x
E a função de distribuição acumulada (cdf) até q é
P(X<= q)=sumx=0^qP(X=x)
Em R, dbinom(x,n,p) retorna P(X=x) e pbinom(q,n,p) retorna P(X≤q).

Passo 3

Aplicando diretamente em R teríamos:
pbinom(5,10,1/3)=sumx=0^5binom10x(1/3)^x(2/3)^10-x
Para ver na prática, podemos calcular cada termo P(X=x) para x=0,1,…,5 e somar:
x=0: 0.0173
x=1: 0.0867
x=2: 0.1951
x=3: 0.2599
x=4: 0.2276
x=5: 0.1366

Passo 4

Somando todos os termos:
0.0173+0.0867+0.1951+0.2599+0.2276+0.1366approx0.9232
Portanto, usando pbinom() ou somando os dbinom(), obtemos Pr(X≤5)≈0.9232.

Resposta

Pr(X≤5)≈0.9232

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