1. (probdist2 - MontPg47exm3-11) O número de mensagens enviadas por hora, através de uma rede de computadores, tem a seguinte distribuição:
x <- 10:15
px <- c(8,15,30,20,20,7)/100
rbind(x, px)
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
## x 10.00 11.00 12.0 13.0 14.0 15.00
\#\# px $0.08 \quad 0.15 \quad 0.3 \quad 0.2 \quad 0.2 \quad 0.07$
a) Calcule o valor esperado de 0.08 0.15 0.3 0.2 0.2 0.07;
b) Calcule o desvio-padrão de X;
c) Faça o gráfico da distribuição de probabilidades de X;
d) Faça o gráfico de distribuição de probabilidades acumulada de X;

Passo 1

A questão envolve uma v.a. discreta X que representa o número de mensagens por hora, com suporte 10,11,12,13,14,15 e probabilidades p(x) = 0.08,0.15,0.30,0.20,0.20,0.07. Vamos usar os conceitos de esperança, variância, desvio-padrão, função massa de probabilidade (pmf) e função de distribuição acumulada (cdf).

Passo 2

Para calcular o valor esperado E(X), aplicamos a definição
E(X)=sumi xi,p(xi)
Substituindo os valores:
E(X)=10(0.08)+11(0.15)+12(0.30)+13(0.20)+14(0.20)+15(0.07)=12.5

Passo 3

Para encontrar o desvio-padrão, primeiro calculamos E(X^2) e depois a variância:
E(X^2)=10^2(0.08)+11^2(0.15)+12^2(0.30)+13^2(0.20)+14^2(0.20)+15^2(0.07)=158.10,
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=158.10-(12.5)^2=1.85,
sigmaX=raizVar(X)=raiz1.85approx1.36

Passo 4

Para o gráfico da pmf de X, fazemos um barplot com as alturas iguais a p(x) em cada x. Em R seria:

Passo 5

Para o gráfico da distribuição acumulada, calculamos
F(x)=P(X<= x)
em cada ponto:
F(10)=0.08, F(11)=0.08+0.15=0.23, F(12)=0.53, F(13)=0.73, F(14)=0.93, F(15)=1.00
E traçamos um step plot em R:

Resposta

E(X)=12.5; desvio-padrão ≈1.36

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