(Binômio de Newton) Se
e
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, para todo
e quaisquer
, a fórmula do binômio de Newton:
O conteúdo principal é o princípio de indução matemática, além da propriedade combinatória
Passo 2
Base de indução (
):
e do outro lado
Logo, a igualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para certo
,
Vamos mostrar que vale para
. Começamos por escrever
Distributindo, obtemos duas somas:
Passo 4
Em cada soma, ajustamos o índice para combinar termos:
- Na primeira soma, escrevemos
, o índice vai de a . - Na segunda, escrevemos
e trocamos , de modo que vai de a .
Reunindo as duas faixas de soma em um único somatório de
até
e usando
chegamos a
Isso completa o passo de indução.