(Binômio de Newton) Se e , mostre que

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, para todo ninN e quaisquer x,yinR, a fórmula do binômio de Newton:
(x+y)^n ;=;sumk=0^nbinomnkx^n-ky^k
O conteúdo principal é o princípio de indução matemática, além da propriedade combinatória
binomnk-1+binomnk=binomn+1k

Passo 2

Base de indução ( n=0):
(x+y)^0=1,
e do outro lado
sumk=0^0binom0kx^0-ky^k=binom00x^0y^0=1
Logo, a igualdade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para certo n>=0,
(x+y)^n=sumk=0^nbinomnkx^n-ky^k
Vamos mostrar que vale para n+1. Começamos por escrever
(x+y)^n+1=(x+y),(x+y)^n =(x+y)sumk=0^nbinomnkx^n-ky^k
Distributindo, obtemos duas somas:
xsumk=0^nbinomnkx^n-ky^k ;+; ysumk=0^nbinomnkx^n-ky^k

Passo 4

Em cada soma, ajustamos o índice para combinar termos:
  1. Na primeira soma, escrevemos xcdot x^n-ky^k=x^(n+1)-ky^k, o índice k vai de 0 a n.
  2. Na segunda, escrevemos ycdot x^n-ky^k=x^n-ky^k+1 e trocamos j=k+1, de modo que j vai de 1 a n+1.
Reunindo as duas faixas de soma em um único somatório de k=0 até k=n+1 e usando
binomnk-1+binomnk=binomn+1k,
chegamos a
(x+y)^n+1 =sumk=0^n+1binomn+1kx^(n+1)-ky^k
Isso completa o passo de indução.

Resposta

(x+y)^n=sumk=0^nbinomnkx^n-ky^k

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