- Seja
um homomorfismo de grupos com núcleo H. Suponha o G finito. Mostre que é
.
Passo 1
O enunciado dá um homomorfismo de grupos
cujo núcleo é
e afirma que
é finito. Queremos mostrar que a ordem de
se decompõe como produto da ordem da imagem de
e da ordem de
, ou seja,
Para isso vamos usar o Teorema do Isomorfismo de grupos e o Teorema de Lagrange.
Passo 2
Primeiro notamos que
é um subgrupo normal de
, então o quociente
é bem definido. Definimos
Para ver que
está bem definida, se
então
implica
, logo
. É fácil checar que
é homomorfismo, sobrejetora por construção e injetora pois
. Portanto
é um isomorfismo.
Passo 3
Do isomorfismo temos
Passo 4
Como
é finito e
é subgrupo de
, o Teorema de Lagrange para o grupo quociente dá
Juntando com o passo anterior,