1. Seja f: G G^prime um homomorfismo de grupos com núcleo H. Suponha o G finito. Mostre que é o(G)=(o(f(G))) cdot o(H).

Passo 1

O enunciado dá um homomorfismo de grupos fcolon G to G' cujo núcleo é H=ker(f) e afirma que G é finito. Queremos mostrar que a ordem de G se decompõe como produto da ordem da imagem de f e da ordem de H, ou seja,
lvert Grvert ;=;lvert f(G)rvert;cdot;lvert Hrvert
Para isso vamos usar o Teorema do Isomorfismo de grupos e o Teorema de Lagrange.

Passo 2

Primeiro notamos que ker(f)=H é um subgrupo normal de G, então o quociente G/H é bem definido. Definimos
bar fcolon G/H ;longrightarrow; f(G) por bar f(gH)=f(g)
Para ver que bar f está bem definida, se g1H=g2H então g1^-1g2in H implica f(g1^-1g2)=e', logo f(g1)=f(g2). É fácil checar que bar f é homomorfismo, sobrejetora por construção e injetora pois ker(bar f)=,H. Portanto bar f é um isomorfismo.

Passo 3

Do isomorfismo temos
G/H ;cong; f(G) Longrightarrow lvert G/Hrvert ;=;lvert f(G)rvert

Passo 4

Como G é finito e H é subgrupo de G, o Teorema de Lagrange para o grupo quociente dá
lvert G/Hrvert ;=;lvert Grvertlvert Hrvert
Juntando com o passo anterior,
lvert f(G)rvert ;=;lvert G/Hrvert ;=;lvert Grvertlvert Hrvert Longrightarrow lvert Grvert ;=;lvert f(G)rvert;cdot;lvert Hrvert

Resposta

lvert Grvert ;=;lvert f(G)rvert;cdot;lvert Hrvert

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