Seja S=u, v, w l.i. em V. Verifique se os conjuntos abaixo são l.i. ou l.d.:
S2=u-v, v-w, w-u

Passo 1

O enunciado dá um conjunto S=u,v,w linearmente independente em V e pede para verificar se
S2=,u-v,;v-w,;w-u
é linearmente independente ou dependente. Vamos usar a definição de combinação linear nula.

Passo 2

Suponha que existam escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,(u-v);+;beta,(v-w);+;gamma,(w-u);=;0

Passo 3

Expandindo em função de u,v,w obtemos
alpha u-alpha v+beta v-beta w+gamma w-gamma u =(alpha-gamma),u+(-alpha+beta),v+(-beta+gamma),w =0
Como u,v,w são l.i., cada coeficiente deve ser zero:
alpha-gamma=0, -alpha+beta=0, -beta+gamma=0

Passo 4

Dessas equações segue alpha=gamma, beta=alpha e gamma=beta, ou seja
alpha=beta=gamma
Logo qualquer tripla (alpha,beta,gamma) com alpha=beta=gammaneq0 é uma combinação não trivial que dá zero. Portanto S2 é linearmente dependente.

Resposta

S2 é linearmente dependente.

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