Resolva o problema de valor inicial:
lx(x-2) d yd x+2 y=0 y(3)=6

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
x(x-2),dydx+2y=0, y(3)=6
Aqui o conteúdo é separação de variáveis (ou ODE linear), pois podemos escrever tudo em termos de y de um lado e x do outro.

Passo 2

Primeiro, isolamos tfracdydx. Dividindo por x(x-2) (pressupondo xneq0,2), obtemos
dydx + 2x(x-2),y = 0 Longrightarrow dydx = -2x(x-2),y
Em seguida, reescrevemos em forma separável:
dyy = -2x(x-2),dx

Passo 3

Agora fazemos a decomposição em frações parciais de 2x(x-2). Procuramos constantes A,B tais que
2x(x-2) = Ax + Bx-2
Multiplicando por x(x-2) vem
2 = A(x-2) + Bx = (A+B)x - 2A
Comparando coeficientes, temos
A + B = 0, -2A = 2 Longrightarrow A = -1,; B = 1
Logo
2x(x-2) = -1x + 1x-2
Portanto
-2x(x-2) = 1x - 1x-2

Passo 4

Substituindo na separação de variáveis:
dyy = l(1x - 1x-2r),dx
Integramos ambos os lados:
integral dyy = integral l(1x - 1x-2r),dx Longrightarrow ln|y| = ln|x| - ln|x-2| + C
Podemos combinar logs:
ln|y| = lnl|xx-2r| + C ;Longrightarrow; y = C' ,xx-2,
onde C' = e^C.

Passo 5

Para determinar C', usamos a condição inicial y(3)=6:
6 = y(3) = C',33-2 = 3,C' Longrightarrow C' = 2
Assim a solução particular é
y(x) = 2,xx-2

Resposta

y(x) = 2,xx-2

Exercícios relacionados