Um biocatalisador é imobilizado na superfície de uma partícula esférica de raio \mathrm{r}=0,005 \mathrm{~m}. Este biocatalisador converte o composto A em um composto B pela reação \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}. O composto A é convertido instantaneamente quando se encontra com a superfície da esfera e sua concentração molar na solução está em excesso, de modo que permanece praticamente constante e vale C_{A}=300 \mathrm{~mol} / \mathrm{m}^{3}. Consideração: D_{A B} é constante.
a) Escreva a equação da continuidade e a lei de Fick com as devidas simplificações possíveis.
b) Quais as condições de contorno do problema?
c) Encontre o perfil de C_{A} em função do raio de difusão ( C_{A}(r) ).

Passo 1

O enunciado descreve difusão estacionária de A em torno de uma partícula esférica de raio r_{0}=0,005,m, com reação instantânea na superfície que zera a concentração ali, e concentração constante no “infinito” C_{A,\infty}=300,mol/m³. O conteúdo envolve difusão esférica em regime permanente, usando a equação de continuidade sem termo de geração e a lei de Fick para comportamento radially simétrico.

Passo 2

A equação de continuidade em regime permanente (sem acumulação nem geração interna) é
\nabla\cdot \mathbf{N}_A = 0.
A lei de Fick, com difusividade constante, é
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla C_A.
Pela simetria esférica só há componente radial N_{A,r}, de modo que
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\bigl(r^{2}N_{A,r}\bigr)=0, \qquad N_{A,r}=-D_{AB}\,\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}r}.

Passo 3

As condições de contorno são:
C_A(r\to\infty)=C_{A,\infty}=300\\ \mathrm{mol/m^{3}},
pela concentração constante no bulk, e
C_A(r_{0})=0,
pela reação instantânea que consome todo A na superfície.

Passo 4

Substituindo N_{A,r} na continuidade:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(-D_{AB}\,r^{2}\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}r}\Bigr)=0 \;\Longrightarrow\; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\Bigl(r^{2}\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}r}\Bigr)=0.
Integramos uma vez:
r^{2}\frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}r}=A \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}C_A}{\mathrm{d}r}=\frac{A}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad C_A(r)=-\frac{A}{r}+B.
Aplicando C_A(\infty)=C_{A,\infty} B=C_{A,\infty}.
Aplicando C_A(r_{0})=0
\,0=-A/r_{0}+C_{A,\infty}\Rightarrow A=C_{A,\infty}\,r_{0}.
Logo
C_A(r)=C_{A,\infty}\Bigl(1-\frac{r_{0}}{r}\Bigr).

Resposta

C_A(r)=300\;\bigl(1-\frac{0,005}{r}\bigr)\\ \mathrm{mol/m^{3}}.

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